Propiedades y medidas de duración de los bonos basados ​​en el rendimiento

Tema 11: Medidas y propiedades de la duración de los bonos basados en el rendimiento

Cobertura de objetivos de aprendizaje

LO1: Definir, calcular e interpretar la duración modificada, la duración del dinero y el valor del precio de un punto básico (PVBP)

Concepto central exam-focus

La duración modificada mide la sensibilidad del precio de un bono a los cambios en el rendimiento como primera derivada del precio con respecto al rendimiento. Se basa directamente en el concepto de Duración de Macaulay dividiendo por (1 + r) para producir una métrica expresada como un cambio porcentual de precio por cambio de rendimiento unitario. La duración del dinero escala esto en unidades monetarias, lo que lo hace práctico para la gestión de riesgos a nivel de posición, mientras que PVBP (también llamado DV01, PV01 o BPV) mide el cambio de precio para un movimiento de rendimiento de un solo punto básico: la métrica de caballo de batalla para operadores y coberturas. Juntas, estas tres medidas forman una jerarquía: MacDur, ModDur, MoneyDur y PVBP, cada una de las cuales añade especificidad práctica. duration

Fórmulas y cálculos formula hp12c

• Duración modificada:

  ModDur = MacDur/(1 + r)
  %ΔPVFull ≈ -AnnModDur × ΔYield
  

• Duración aproximada modificada (cuando las analíticas no están disponibles):

  AnnModDur ≈ (PV- - PV+) / [2 × (ΔYield) × (PV0)]
  

  Donde: PV- = precio si el rendimiento disminuye, PV+ = precio si el rendimiento aumenta

• Duración del dinero:

  MoneyDur = AnnModDur × PVFull
  ΔPVFull ≈ -MoneyDur × ΔYield
  

• Valor del precio de un punto base:

  PVBP = MoneyDur × 0.0001
  or
  PVBP = (PV- - PV+) / 2  (using ±1bp change)
  

• Pasos HP 12C (Duración modificada):

  Example: MacDur = 10, YTM = 8%
  
  10 [ENTER]                 (Macaulay duration)
  1.08 [÷]                   (Divide by 1+r)
  Result: 9.259              (Modified duration)
  

• Pasos HP 12C (cálculo PVBP):

  Example: ModDur = 5, Price = $1,000
  
  5 [ENTER] 1000 [×]         (Money duration = 5,000)
  0.0001 [×]                 (Multiply by 0.0001)
  Result: 0.50               (PVBP = $0.50)
  

Ejemplos prácticos

• Ejemplo de finanzas tradicionales: evaluación del riesgo de bonos corporativos

  $100M position in 5-year corporate bond
  Modified duration: 4.43
  Market value: $100.5M
  
  Money duration = 4.43 × $100.5M = $445.2M
  PVBP = $445.2M × 0.0001 = $44,520
  
  If yields rise 25 bps:
  Loss ≈ 25 × $44,520 = $1,113,000
  

• Cálculo de duración aproximada:

  Bond price at 5.00% yield: $100.00
  Bond price at 4.95% yield: $100.23
  Bond price at 5.05% yield: $99.77
  
  AnnModDur ≈ (100.23 - 99.77)/(2 × 0.001 × 100)
  AnnModDur ≈ 2.30
  

Aplicación DeFi defi-application

En los protocolos de préstamos DeFi como Aave, las posiciones de oferta de tasa variable ven su duración modificada cambiar diariamente a medida que las tasas se ajustan, porque el tiempo efectivo hasta el próximo reinicio del flujo de efectivo cambia continuamente. La duración del dinero sigue la exposición absoluta del USD a los cambios en las tasas, lo que la hace directamente análoga a la gestión tradicional del riesgo de cartera. La transparencia de los datos de tarifas en cadena permite actualizaciones de duración en tiempo real que los sistemas TradFi logran solo a través de una costosa infraestructura. Sin embargo, la volatilidad de las tasas de DeFi supera con creces a los mercados tradicionales, lo que requiere un recálculo más frecuente. Una posición de oferta de USDC de 1 millón de dólares al 3% con una duración efectiva de 2 años tendría una duración monetaria de 20.000 dólares y un PVBP de sólo 2 dólares, lo que ilustra la duración cercana a cero típica de las posiciones DeFi de tasa flotante.

OA2: Explique cómo el vencimiento, el cupón y el nivel de rendimiento de un bono afectan su riesgo de tasa de interés.

Concepto central

• Definición: Las propiedades de duración describen relaciones sistemáticas entre las características de los bonos y la sensibilidad a las tasas de interés, formando reglas fundamentales para la gestión de la cartera de bonos.

• Por qué es importante: comprender estas relaciones permite a los inversores seleccionar bonos que coincidan con su tolerancia al riesgo y construir carteras con las características de duración deseadas.

• Componentes clave:

  • Efecto cupón (relación inversa)
  • Efecto rendimiento (relación inversa)
  • Efecto madurez (relación directa)
  • Efectos de interacción y excepciones.#### Fórmulas y cálculos

• Resumen de reglas de duración:

  ↑ Coupon → ↓ Duration
  ↑ Yield → ↓ Duration
  ↑ Maturity → ↑ Duration (usually)
  

• Duración de la perpetuidad (caso especial):

  MacDur = (1 + r)/r
  ModDur = 1/r
  

• Duración del cupón cero (caso especial):

  MacDur = Maturity
  ModDur = Maturity/(1 + r)
  

• Duración de la tasa flotante:

  MacDur = (T - t)/T
  

  Donde: T = período del cupón, t = días desde el último reinicio

• Pasos HP 12C (Comparación de duraciones):

  Bond A: 5% coupon, Bond B: 8% coupon
  Same maturity and yield
  
  Bond A duration > Bond B duration
  (Lower coupon → Higher duration)
  

Ejemplos prácticos

• Ejemplo de efecto de cupón:

  10-year bonds at 6% yield:
  
  2% coupon: ModDur = 8.12
  6% coupon: ModDur = 7.44
  10% coupon: ModDur = 6.89
  
  Lower coupon → Higher duration
  

• Efecto del nivel de rendimiento:

  10-year, 5% coupon bond:
  
  At 3% yield: ModDur = 8.53
  At 5% yield: ModDur = 7.99
  At 7% yield: ModDur = 7.51
  
  Lower yield → Higher duration
  

• Efecto de Vencimiento con Excepción:

  Deep discount bonds (1% coupon at 10% yield):
  
  20-year: Duration = 10.50
  30-year: Duration = 10.91
  50-year: Duration = 10.96
  100-year: Duration = 10.89 (decreases!)
  
  Very long deep discount bonds can have decreasing duration
  

Aplicación DeFi defi-application

El sistema cToken de Compound proporciona una ilustración convincente de las propiedades de duración en DeFi. Debido a que los cTokens representan posiciones de tasa variable con reinicios continuos de tasas, su duración efectiva es extremadamente corta: los cDAI generalmente tienen una duración inferior a 0,1 años, similar a una nota de tasa flotante a un día. Por el contrario, los protocolos de tasa fija como Notional Finance y Element Finance crean posiciones donde la duración es exactamente igual al plazo restante, comportándose como instrumentos de cupón cero. Esta componibilidad permite a los usuarios de DeFi construir carteras con perfiles de duración específicos combinando posiciones de tasa variable y tasa fija en todos los protocolos.

Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)

Crítico 20% para dominar:

1. Duración modificada: MacDur/(1+r) - mide el % de cambio de precio por cada 1% de cambio de rendimiento
2. Duración del dinero: ModDur × Precio: mide el cambio en dólares por cada cambio de rendimiento del 1 %
3. PVBP/DV01: MoneyDur × 0,0001: mide el cambio en dólares por cambio de rendimiento de 1 pb
4. Propiedades de duración: Menor cupón/rendimiento → Mayor duración; Mayor vencimiento → Mayor duración (normalmente)

Relaciones clave:

• Jerarquía de duración: MacDur → ModDur → MoneyDur → PVBP
• Aproximación: puede calcular la duración utilizando pequeños cambios en el rendimiento cuando los análisis no están disponibles
• Duración de la cartera: promedio ponderado de las duraciones de los bonos individuales
• Limitaciones: Aproximación lineal de relación no lineal

Hoja de fórmula completa formula

Medidas de duración

Modified Duration: ModDur = MacDur/(1 + r)
Annualized: AnnModDur = ModDur/k (k = periods per year)
Price Change: %ΔPVFull ≈ -AnnModDur × ΔYield

Duración del dinero y PVBP

Money Duration: MoneyDur = AnnModDur × PVFull
Price Change ($): ΔPVFull ≈ -MoneyDur × ΔYield
PVBP/DV01: PVBP = MoneyDur × 0.0001
Alternative: PVBP = (PV@yield-1bp - PV@yield+1bp)/2

Duración aproximada

AnnModDur ≈ (PV- - PV+) / [2 × (ΔYield) × (PV0)]
Where: Small yield changes (typically ±5bp)

Casos especiales

Zero-Coupon: MacDur = Maturity, ModDur = Maturity/(1+r)
Perpetuity: MacDur = (1+r)/r, ModDur = 1/r
Floating-Rate: MacDur = Time to next reset

Propiedades de duración

∂Duration/∂Coupon < 0 (inverse)
∂Duration/∂Yield < 0 (inverse)
∂Duration/∂Maturity > 0 (usually direct)

Secuencias de la calculadora HP 12C hp12c

Calcular la duración modificada

MacDur [ENTER]         Macaulay duration
1 [ENTER] r [+]       1 + yield
[÷]                   Modified duration

Calcular la duración del dinero

ModDur [ENTER]        Modified duration
Price [×]             Money duration

Calcular PVBP

MoneyDur [ENTER]      Money duration
0.0001 [×]           PVBP

Duración modificada aproximada

PV- [ENTER]          Price if yield falls
PV+ [-]              Difference
2 [÷]                Half the difference
ΔYield [÷]           Divide by yield change
PV0 [÷]              Divide by initial price
                     Result: Approximate ModDur

Comparar efectos de duración

For coupon comparison:
Lower_Coupon_Dur [ENTER]
Higher_Coupon_Dur [-]
Result > 0 confirms lower coupon = higher duration

For yield comparison:
Lower_Yield_Dur [ENTER]
Higher_Yield_Dur [-]
Result > 0 confirms lower yield = higher duration

Problemas de práctica

Nivel Básico

1. Un bono tiene una duración Macaulay de 7,5 años y un YTM del 5%. Calcula su duración modificada.

2. Una posición de $10 millones tiene una duración modificada de 6. ¿Cuál es su PVBP?

3. ¿Cuál tiene mayor duración: bono con cupón del 3% a 10 años o bono con cupón del 6% a 10 años?

Nivel Intermedio

4. Un bono se cotiza a 98,50 dólares. Con rendimientos de ±10 puntos básicos, los precios son de 99,42 dólares y 97,59 dólares. Calcular la duración aproximada de la modificación.5. Una cartera tiene $50 millones en bonos a 3 años (ModDur=2,8) y $30 millones en bonos a 7 años (ModDur=6,1). Calcular la duración del dinero de la cartera.

5. Un bono perpetuo rinde un 8%. Calcule sus duraciones Macaulay y modificadas.

Nivel avanzado

7. Compare las duraciones de tres bonos a 15 años con un rendimiento del 5%: 0% cupón, 5% cupón, 10% cupón. Explica el patrón.

8. Un comerciante tiene un valor nominal de 100 millones de dólares con un PVBP de 65 000 dólares. Diseñar una cobertura utilizando futuros con PVBP de $85 por contrato.

9. Explique por qué un bono con gran descuento a 100 años podría tener una duración menor que un bono a 50 años.

Guía de soluciones

1. ModDur = 7,5/(1,05) = 7,14 años
2. PVBP = 6 × 10 millones de dólares × 0,0001 = 6.000 dólares
3. El cupón del 3% tiene una duración mayor (regla de cupón más bajo)
4. AnnModDur ≈ (99,42-97,59)/(2×0,002×98,50) = 4,66
5. DineroDur = 2,8×$50M + 6.1×$30M = $323M
6. MacDur = 1,08/0,08 = 13,5 años, ModDur = 12,5 años 7, 0%: 14,29, 5%: 10,93, 10%: 9,14 (efecto cupón)
7. Necesita 765 contratos (65.000/85)
8. El valor presente de los flujos de efectivo distantes se acerca a cero, lo que limita el crecimiento de la duración

Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real

Duración del protocolo de tasa variable

Aave y compuesto:

• Posiciones de oferta: Duración ≈ 0 (las tasas se ajustan continuamente)
• Préstamo a tipo fijo: Duración = vencimiento del préstamo
• Préstamo variable: Duración ≈ 0,25 años (supuesto de ajuste trimestral)

Ejemplo de cálculo:

$1M USDC at 3% variable
Assumed rate volatility: 1% quarterly
Effective duration ≈ 0.25 years
Money duration = 0.25 × $1M = $250,000
PVBP = $25

Duración de la tokenización de rendimiento

Pendle Finanzas:

• Tokens PT: Duración = tiempo hasta el vencimiento
• Tokens YT: duración compleja (captura diferenciales de tasas)
• Posición combinada: replica la duración subyacente

Financiamiento de elementos:

• Tokens principales: perfil de cupón cero
• La duración es exactamente igual al plazo restante.
• Permite hacer coincidir la duración exacta

Duración del préstamo de Stablecoin

Stablecoins tradicionales:

USDC in Compound: Duration ≈ 0.1 years
USDC in Aave: Duration ≈ 0.1 years
USDC in fixed protocols: Duration = term

Monedas estables algorítmicas:

DAI savings rate: Duration ≈ 0.25 years
sDAI (staked DAI): Duration ≈ 0.5 years
Fixed-rate DAI vaults: Duration = maturity

Aplicaciones del mundo real

Gestión de cartera:

• Duración objetivo: 5 años
• Lograr mediante la combinación de:
  • 40% notas a 2 años (ModDur = 1,9)
  • 60% notas a 7 años (ModDur = 6,5)
  • Cartera ModDur = 0,4×1,9 + 0,6×6,5 = 4,66

Gestión de riesgos:

Bank trading desk limits:
- Maximum PVBP: $100,000
- Maximum modified duration: 7.0
- Money duration limit: $500M

Errores comunes y consejos para los exámenes

Errores de cálculo que se deben evitar

1. Olvidarse de anualizar: ModDur semestral debe dividirse entre 2
2. Fórmula PVBP incorrecta: utilice 0,0001, no 0,01
3. Confusión de signos: la duración es positiva, el cambio de precio es negativo para los aumentos de rendimiento
4. Precisión de aproximación: solo válido para pequeños cambios de rendimiento

Trampas conceptuales

1. Duración ≠ Tiempo: La duración modificada no es una medida de tiempo
2. Unidades de duración del dinero: unidades monetarias, no porcentaje
3. Alternativas de PVBP: DV01, PV01, BPV significan lo mismo
4. Duración de la cartera: debe utilizar ponderaciones de valor de mercado, no ponderaciones a la par.

Consejos de estrategia para el examen

1. Comprobaciones rápidas: ModDur < MacDur siempre (para rendimientos positivos)
2. Ayudas para la memoria: “CMY” - Cupón ↑ Vencimiento ↑ Rendimiento ↑ afecta la duración ↓ ↑↓
3. Aproximación: si no se proporciona la fórmula exacta, utilice una aproximación de ±5 pb
4. Unidades: especifique siempre: años para la duración, $ para la duración en dinero

Banderas rojas en problemas- Duración modificada > Duración Macaulay (imposible para rendimientos positivos)

• PVBP > Duración del dinero (debe ser 10.000 veces menor)
• La duración aumenta con el cupón (viola la relación inversa)
• Perpetuidad con duración finita < (1+r)/r (demasiado baja)

Conclusiones clave

Conceptos esenciales

1. Duración modificada mide la sensibilidad porcentual del precio a los cambios en el rendimiento
2. Duración del dinero convierte esto en sensibilidad al dólar para el tamaño de la posición.
3. PVBP/DV01 proporciona sensibilidad por punto básico para el comercio
4. Las propiedades de duración siguen patrones predecibles con cupón, rendimiento y vencimiento

Fórmulas críticas

• ModDur = MacDur/(1+r)
• DineroDur = ModDur × Precio
• PVBP = DineroDur × 0,0001
• %ΔPrecio ≈ -ModDur × ΔRendimiento

Innovaciones DeFi defi-application

• Los protocolos de tasa variable (Aave, Compound) tienen una duración casi nula
• Los protocolos de tasa fija (Notional Finance, Element) permiten igualar la duración
• Duración tokenizada a través de Pendle Finance divisiones PT/YT
• Estrategias de duración componibles entre protocolos.

Referencias cruzadas y recursos adicionales

Temas financieros relacionados

• Tema 10: Duración de Macaulay (conceptos básicos) duration
• Tema 12: Convexidad (efectos de segundo orden)
• Tema 13: Duración basada en curvas (medidas avanzadas)
• Tema 6: Valoración de Bonos (relación precio-rendimiento)
• Gestión de carteras: estrategias de coincidencia de duración

Documentación del protocolo DeFi

• Aave Docs: Modelos de tipos de interés
• Documentos compuestos: cálculos de tarifas
• Documentos nocionales: duración de tasa fija
• Element Docs: duración del token principal

Recursos académicos

• “Análisis de la renta fija” de Fabozzi, cap. 5
• Tuckman & Serrat “Valores de Renta Fija” Cap. 4
• Lecturas financieras sobre duración y convexidad.

Plataformas de práctica

• Terminal Bloomberg: función PORT para análisis de duración
• Bibliotecas de Python: QuantLib para cálculos de duración
• Plantillas Excel: Calculadoras de duración y convexidad.
• Simuladores DeFi: bifurcación de la red principal para pruebas

Revisar la lista de verificación

Comprensión conceptual

• Puede explicar la diferencia entre Macaulay y la duración modificada
• Comprender la duración del dinero frente a la distinción PVBP
• Sepa cómo el cupón, el rendimiento y el vencimiento afectan la duración
• Puede identificar cuándo usar cada medida de duración

Competencia en cálculo

• Calcular la duración modificada de Macaulay
• Calcular la duración del dinero y PVBP
• Utilice la fórmula de duración aproximada
• Aplicar duración para estimar cambios de precios

Habilidades de aplicación

• Analizar la duración de la cartera
• Diseño de coberturas de duración
• Comparar bonos utilizando la duración
• Aplicar a protocolos DeFi

Preparación para el examen- [ ] Completa todos los problemas de práctica.

• Secuencias [ ] Master HP 12C
• Revisar errores comunes
• Comprender las limitaciones de duración