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La estructura temporal de las tasas de interés: curvas al contado, a la par y a plazo

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Tema 9: La estructura temporal de las tasas de interés: curvas al contado, a la par y a plazo

Cobertura de objetivos de aprendizaje

OA1: Defina los tipos al contado y la curva al contado, y calcule el precio de un bono utilizando los tipos al contado

Concepto central

  • Definición: Los tipos al contado son los rendimientos de los bonos cupón cero para varios vencimientos, que representan el valor temporal puro del dinero para cada período. La curva al contado traza estas tasas contra el vencimiento.
  • Por qué es importante: Las tasas al contado son los pilares fundamentales para valorar todos los valores de renta fija, proporcionando precios sin arbitraje y revelando las expectativas del mercado sobre las tasas de interés futuras.
  • Componentes clave:
    • Rendimientos cupón cero para cada vencimiento
    • Principio de fijación de precios sin arbitraje
    • Metodología de arranque
    • Formas de estructura de términos (normal, plana, invertida)

Fórmulas y cálculos

  • Precio de bonos con tasas al contado:

    PV = PMT/(1+z₁)¹ + PMT/(1+z₂)² + ... + (PMT+FV)/(1+zₙ)ᴺ

    Donde: z₁, z₂, zₙ = tipos de cambio al contado para los períodos 1, 2, N

  • Precio del bono cupón cero:

    PV = FV/(1+zₙ)ᴺ

  • Proceso de arranque:

    From 1-year bond: z₁ = YTM₁
From 2-year bond: Solve for z₂ using known z₁
Continue iteratively for longer maturities

  • Pasos HP 12C (precio de bonos con tasas al contado):

    Example: 3-year, 5% coupon, spots: 2%, 3%, 4%

5 [ENTER] 1.02 [÷]        (Year 1: 4.902)
5 [ENTER] 1.03 [x²] [÷]   (Year 2: 4.713)
105 [ENTER] 1.04 [yˣ] 3 [÷] (Year 3: 93.345)
[+] [+]                    (Total: 102.96)

Ejemplos prácticos

  • Ejemplo de finanzas tradicionales: fijación de precios de los bonos del gobierno canadiense

    5-year bond, 1% coupon
Spot rates: 0.31%, 0.57%, 0.80%, 0.96%, 1.11%

PV = 1/(1.0031) + 1/(1.0057)² + 1/(1.0080)³ + 1/(1.0096)⁴ + 101/(1.0111)⁵
PV = 0.997 + 0.989 + 0.976 + 0.962 + 95.576 = 99.50

  • Ejemplo de tipos negativos: bonos del gobierno suizo

    3-year bond, 0% coupon
Spot rates: -0.79%, -0.71%, -0.64%
PV = 100/(1-0.0064)³ = 101.94

Aplicación DeFi

  • Ejemplo de protocolo: préstamos a tasa fija de Yield Protocol usando fyTokens
  • Implementación: los fyTokens son tokens de cupón cero que maduran hasta convertirse en activos subyacentes, creando tasas al contado puras en la cadena.
  • Ventajas/Desafíos:
    • Ventajas: Curva de punto transparente, componible con otros protocolos
    • Desafíos: opciones de vencimiento limitadas, fragmentación de la liquidez
    • Ejemplo: fyDAI con vencimiento en 6 meses cotizando a 0,98 = 4,08% de tasa al contado anualizada

OA2: Defina tipos a la par y a plazo, y calcule tipos a la par, tipos a plazo a partir de tipos al contado, tipos al contado a partir de tipos a plazo y el precio de un bono utilizando tipos a plazo

Concepto central

  • Definición: Las tasas a la par son rendimientos que fijan el precio de los bonos a su valor nominal; Los tipos a plazo son tipos al contado futuros implícitos entre dos períodos derivados de los tipos al contado actuales.
  • Por qué es importante: los tipos a la par forman las curvas de rendimiento de referencia cotizadas en los mercados; Los tipos a plazo revelan las expectativas del mercado y permiten estrategias de cobertura.
  • Componentes clave:
    • Relación par-spot
    • Extracción de tasas a plazo
    • Condiciones sin arbitraje
    • Implicaciones de la teoría de las expectativas.

Fórmulas y cálculos

  • Fórmula de tasa nominal:

    100 = PMT/(1+z₁) + PMT/(1+z₂)² + ... + (PMT+100)/(1+zₙ)ᴺ
Solve for PMT to get par rate

  • Cálculo de tasa a plazo:

    (1+z_A)^A × (1+IFR_{A,B-A})^{B-A} = (1+z_B)^B

IFR_{A,B-A} = [(1+z_B)^B / (1+z_A)^A]^{1/(B-A)} - 1

  • Precio de bonos con tasas a plazo:

    PV = CF₁/(1+f₀,₁) + CF₂/[(1+f₀,₁)(1+f₁,₁)] + ... + CFₙ/[∏(1+fᵢ)]

  • Pasos HP 12C (cálculo de tasa de avance):

    Example: Calculate 2y1y from z₂=3%, z₃=4%

1.04 [ENTER] 3 [yˣ]       (1.1249)
1.03 [ENTER] 2 [yˣ]       (1.0609)
[÷]                        (1.0603)
1 [-]                      (0.0603 = 6.03%)

Ejemplos prácticos

  • Cálculo de la tasa nominal:

    Given spots: 5.26%, 5.62%, 6.36%, 7.01%
Par rates: 5.26%, 5.61%, 6.31%, 6.90%
Note: Par < Spot in upward sloping curve

  • Ejemplo de tasa a plazo:

    3y1y forward with z₃=3.65%, z₄=4.18%
(1.0365)³ × (1+f₃,₁) = (1.0418)⁴
f₃,₁ = 5.79%

  • Tasas a plazo negativas:

    Swiss 9y1y: z₉=-0.19%, z₁₀=-0.12%
Forward rate = +0.54% (positive despite negative spots!)

Aplicación DeFi- Ejemplo de protocolo: descomposición PT/YT de Pendle Finance

  • Implementación: Los tokens principales (PT) se negocian con descuento creando tasas a plazo implícitas; Diferencial de tasa de captura de tokens de rendimiento (YT)
  • Ventajas/Desafíos:
    • Ventajas: tipos a plazo determinados por el mercado, exposición a tipos negociables
    • Desafíos: fijación de precios compleja, requiere usuarios sofisticados
    • Ejemplo: si stETH spot = 4% y PT implica 3% hacia adelante, YT captura el diferencial del 1%

LO3: Compare la curva spot, la curva par y la curva forward

Concepto central

  • Definición: Tres representaciones relacionadas de la estructura temporal, cada una de las cuales tiene diferentes propósitos analíticos y prácticos en los mercados de renta fija.
  • Por qué es importante: comprender las relaciones entre curvas permite una valoración de valores, una evaluación de riesgos y un desarrollo de estrategias comerciales adecuados.
  • Componentes clave:
    • Formas y relaciones de curvas.
    • Diferencias en el contenido de la información.
    • Convenciones del mercado
    • Relaciones de arbitraje

Fórmulas y cálculos

  • Relaciones de curvas:

    Upward sloping: Forward > Spot > Par
Flat: Forward = Spot = Par
Inverted: Par > Spot > Forward

  • Aproximaciones:

    For small changes:
Forward ≈ Spot + (Maturity × Slope of Spot Curve)
Par ≈ Spot - (Duration × Convexity Adjustment)

Ejemplos prácticos

  • Curvas con pendiente ascendente (Normal):

    Maturity | Par    | Spot   | Forward
1-year   | 2.00%  | 2.00%  | 2.00%
2-year   | 2.98%  | 3.00%  | 4.01%
3-year   | 3.93%  | 4.00%  | 6.03%

  • Curvas Invertidas (Señal de Recesión):

    Maturity | Par    | Spot   | Forward
1-year   | 5.00%  | 5.00%  | 5.00%
2-year   | 4.51%  | 4.50%  | 4.00%
3-year   | 4.03%  | 4.00%  | 3.00%

Aplicación DeFi

  • Ejemplo de protocolo: ponderaciones de calibre de Curve Finance y votación veCRV
  • Implementación: Diferentes grupos representan diferentes “vencimientos” con diferentes rendimientos, lo que crea una estructura de plazos implícita
  • Ventajas/Desafíos:
    • Ventajas: descubrimiento de tasas impulsado por el mercado, participación en la gobernanza
    • Desafíos: los rendimientos incluyen incentivos simbólicos, no tasas de interés puras
    • Observación: Los períodos de bloqueo más largos (como veCRV) generalmente generan mayores rendimientos, imitando una curva con pendiente ascendente.

Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)

Conocimiento esencial (20 % que ofrece un 80 % de valor)

  1. Las tasas al contado son fundamentales

    • Todos los precios de los bonos se derivan de tipos al contado.
    • Rendimientos cupón cero para cada vencimiento
    • Principio de fijación de precios sin arbitraje

  2. Las tasas a plazo son expectativas

    • Implied future spot rates
    • (1+z_long)^long = (1+z_short)^short × (1+forward)
    • Market’s best guess of future rates

  3. Las formas de las curvas cuentan historias

    • Normal (upward): Growth expectations
    • Flat: Transition period
    • Inverted: Recession fears

  4. Las relaciones están arregladas

    • Hacia arriba: Adelante > Spot > Par
    • Hacia abajo: Par > Spot > Adelante
    • Estas relaciones son certezas matemáticas.

Hoja de fórmula completa formula

Fórmulas de tasa al contado

Zero-Coupon Bond: PV = FV/(1+z)ⁿ
Coupon Bond: PV = Σ CF_t/(1+z_t)^t
Spot from Price: z = (FV/PV)^(1/n) - 1
Bootstrapping: Use known spots to solve for unknown

Fórmulas de tasa nominal

Par Rate Definition: Price = 100 (par value)
100 = Σ PMT/(1+z_t)^t + 100/(1+z_n)^n
Par Rate = [100 - Σ PV(100)]/[Σ PV(1)]
For annual: Par ≈ (1 - 1/(1+z_n)^n) / Σ(1/(1+z_t)^t)

Fórmulas de tasa a plazo

Basic: (1+z_B)^B = (1+z_A)^A × (1+f_{A,B-A})^{B-A}
Forward Rate: f_{A,B-A} = [(1+z_B)^B/(1+z_A)^A]^{1/(B-A)} - 1
1-Period Forward: f_{n-1,1} = [(1+z_n)^n/(1+z_{n-1})^{n-1}] - 1
Pricing with Forwards: PV = CF₁/(1+f₀,₁) + CF₂/[(1+f₀,₁)(1+f₁,₁)] + ...

Relaciones de curvas

Upward Sloping: Forward > Spot > Par
Flat: Forward = Spot = Par
Inverted: Par > Spot > Forward
Steepness: Greater slope → Larger forward-spot spread

Secuencias de la calculadora HP 12C hp12c

Calcular el precio de los bonos utilizando tasas al contado

Example: 3-year, 4% coupon, spots: 2%, 2.5%, 3%

4 [ENTER] 1.02 [÷]           (Year 1: 3.922)
4 [ENTER] 1.025 [x²] [÷]     (Year 2: 3.810)
104 [ENTER] 1.03 [yˣ] 3 [÷]  (Year 3: 95.157)
[+] [+]                       (Total: 102.889)

Calcular la tasa a plazo

Example: 1y1y forward from z₁=2%, z₂=3%

1.03 [ENTER] [x²]    (1.0609)
1.02 [÷]             (1.0401)
1 [-]                (0.0401 = 4.01%)

Calcular la tasa nominal

Example: 2-year par rate from z₁=2%, z₂=3%

1 [ENTER] 1.02 [÷]        (0.9804)
1 [ENTER] 1.03 [x²] [÷]   (0.9426)
[+]                       (1.9230 = sum of PVs)
100 [ENTER] 1.03 [x²] [÷] (94.260 = PV of principal)
100 [x<>y] [-]            (5.740 = PV of coupons needed)
1.923 [÷]                 (2.985% = par rate)

Tasa al contado de Bootstrap

Example: Find z₂ given z₁=2%, 2-year 3% bond at par

100 [CHS] [PV]           (bond price)
3 [ENTER] 1.02 [÷] [+]   (add PV of first coupon = -97.06)
103 [FV]                 (final payment)
2 [n] 0 [PMT]            (setup for spot rate)
[i]                      (z₂ = 3.005%)

Problemas de práctica

Nivel Básico

  1. Precio de tarifa al contado

    • P: Precio de un bono anual a 2 años al 4% con spot: z₁=3%, z₂=3,5%
    • A: PV = 4/1,03 + 104/1,035² = 3,883 + 97,017 = 100,90

  2. Tasa a plazo simple

    • P: Calcular 1y1y hacia adelante desde z₁=2%, z₂=2.5%
    • A: f₁,₁ = (1,025²/1,02) - 1 = 3,00%

  3. Par frente a Spot

    • Q: If 3-year spot = 4%, is 3-year par higher or lower?
    • A: Lower (par < spot in upward sloping curve)

Nivel intermedio1. Reenvío de varios períodos

  • P: Encuentre 2y2y hacia adelante desde z₂=3%, z₄=4%
  • A: (1,04⁴/1,03²)^0,5 - 1 = 5,01%

  1. Cálculo de la tasa nominal

    • Q: Calculate 3-year par from spots: 2%, 3%, 4%
    • A: 100 = C/1.02 + C/1.03² + (C+100)/1.04³ Solving: C = 3.94%

  2. Tarifas negativas

    • Q: Price 2-year zero with spots: z₁=-0.5%, z₂=-0.3%
    • A: PV = 100/(1-0.003)² = 100.60

Nivel avanzado

  1. Construcción de curva completa

    • P: Bonos dados: 1 año 2% a la par, 2 años 3% a 101, encuentre z₁, z₂ y f₁,₁
    • A: z₁ = 2%, z₂ = 2,48%, f₁,₁ = 2,96%

  2. Oportunidad de arbitraje

    • P: 2 años cero en 96, z₁=2%, z₂=2,5%. ¿Existe arbitraje?
    • A: Precio justo = 100/1,025² = 95,18. Bono sobrevalorado, vender bonos y comprar tiras.

  3. Inversión de curva hacia adelante

    • Q: Dados a plazo: f₀,₁=3%, f₁,₁=2%, f₂,₁=1%. Encuentra la forma de la curva puntual.
    • A: z₁=3%, z₂=2,50%, z₃=2,00%. Curva puntual invertida.

Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real

Ejemplos de finanzas tradicionales

  1. Curva del Tesoro de EE. UU. (Tiempos normales)

    Maturity | Par Yield | Spot Rate | Forward
1-year   | 2.50%     | 2.50%     | 2.50%
5-year   | 3.00%     | 3.02%     | 3.52%
10-year  | 3.50%     | 3.55%     | 4.55%
30-year  | 4.00%     | 4.10%     | 5.30%

  2. Tasas negativas europeas

    Germany 10-year: -0.18% spot
Switzerland 10-year: -0.12% spot
Forward rates turning positive beyond 5 years

  3. Curvas de mercados emergentes

    Brazil: Steep upward slope (inflation expectations)
Turkey: Very steep (currency risk premium)
China: Relatively flat (controlled rates)

Comparaciones de protocolos DeFi

  1. Estructura de términos financieros nocionales

    3-month fDAI: 3.5% fixed rate
6-month fDAI: 4.0% fixed rate
1-year fDAI: 4.8% fixed rate
Implied forward: 5.6% for 6m-1y period

  2. Fichas principales de Element Finance

    3-month PT-yvUSDC: 0.985 (6.15% annualized)
6-month PT-yvUSDC: 0.970 (6.12% annualized)
Flat to slightly inverted curve

  3. Tasas implícitas del grupo de curvas

    3pool base APY: 0.8%
Tricrypto APY: 2.5%
Term premium for volatility exposure: 170 bps

Estructuras innovadoras de DeFi

  1. Pendle AMM para operaciones de rendimiento

    • Pools separados para cada vencimiento
    • Los precios del PT crean una curva spot
    • Los precios del YT revelan expectativas de tasas a plazo
    • Ejemplo: si PT de 1 año a 0,95, spot = 5,26 %

  2. UMA Yield Dollar Synthetic

    • Crea exposición sintética a tasa fija
    • Utiliza feeds de precios para determinar los pagos.
    • Permite estructuras de términos personalizados

  3. Depósitos de tasa fija a 88 mph

    • Los depositantes flotantes subsidian a los depositantes fijos.
    • Crea una curva puntual sintética
    • Las tarifas se ajustan según la utilización de la piscina.

Errores comunes y consejos para los exámenes

Errores frecuentes

  1. Tipos de tarifas confusos

    • Error: uso de tasas a la par para cálculos de tasas al contado
    • Solución: tasas a la par para rendimientos cotizados, puntos para valoración
    • Recuerde: Las curvas del Tesoro publicadas son tipos a la par

  2. Dirección de la tasa a plazo

    • Error: Pensar en el futuro predice lugares futuros
    • Solución: los forwards son tasas de equilibrio, no predicciones
    • Clave: Incluir primas de riesgo en las expectativas

  3. Confusión agravante

    • Error: Not compounding forward rates correctly
    • Fix: Multiply (1+f) terms, don’t add rates
    • Example: Two 5% forwards ≠ 10% two-period rate

Estrategias de examen

  1. Identificaciones rápidas

    • Curva ascendente: use Adelante > Spot > Par
    • Ver “cupón cero”: piense en la tasa al contado
    • Consulte “negociaciones a la par”: piense en la tasa a la par

  2. Eficiencia de la calculadora

    • Programar puntos en registros de memoria.
    • Utilice cálculos en cadena para tasas a plazo
    • Verificar: Los avances deberían amplificar la pendiente de la curva.

  3. Gestión del tiempo

    • Comience con la identificación de la forma de la curva.
    • Utilizar aproximaciones para cálculos complejos.
    • Verificar que las relaciones coincidan con la forma de la curva

Trampas conceptuales

  1. Complicaciones de tasa negativa

    • Still use (1+r) format even if r < 0
    • Forward can be positive with negative spots
    • Price > Par for zero-coupon with negative yield

  2. Prima de liquidez frente a expectativas

    • Las tasas a plazo incluyen primas de riesgo.
    • No puras expectativas sobre tipos futuros.
    • Los forwards más largos tienen primas más altas

  3. Problemas de construcción de curvas

    • Bonos en ejecución versus bonos fuera de ejecución
    • Los efectos fiscales distorsionan las curvas municipales
    • Los diferenciales de crédito afectan las curvas corporativas

Conclusiones clave

Conceptos imprescindibles1. Los tipos al contado son rendimientos fundamentales de cupón cero

  1. Las tasas a plazo son tasas futuras de equilibrio
  2. Las tasas a la par son rendimientos de los bonos cotizados a la par.
  3. La forma de la curva determina las relaciones de tasas
  4. Sin arbitraje vincula las tres curvas

Fórmulas críticas

  • Precios al contado: PV = Σ CF/(1+z_t)
  • Tasa de avance: (1+z_B)^B = (1+z_A)^A × (1+f)^(B-A)
  • Relaciones de curvas: la forma determina el ordenamiento directo, puntual o par.

Aplicaciones DeFi

  • Los protocolos de tasa fija crean curvas al contado en cadena
  • La tokenización de rendimiento permite el comercio de tipos a plazo
  • Los pools de AMM implican una estructura de plazos a través de los rendimientos.
  • Los tokens de gobernanza añaden complejidad a las tasas puras

Referencias cruzadas y recursos adicionales

Temas financieros relacionados

Recursos DeFi

Plataformas de práctica

  • Terminal Bloomberg: funciones de GC para análisis de curvas
  • Python: QuantLib para modelado de estructuras de términos
  • DeFi: paneles de Dune para rendimientos de protocolos
  • Excel: Paquete de herramientas de análisis de datos para arranque

Revisar la lista de verificación

Comprensión conceptual

  • Puede explicar la diferencia entre tipos al contado, a la par y a plazo.
  • Comprender el principio de fijación de precios sin arbitraje
  • Conoce las implicaciones de la forma de la curva.
  • Puede interpretar correctamente las tasas a plazo

Competencia en cálculo

  • Precio de los bonos utilizando tasas al contado
  • Calcular tasas a plazo desde puntos
  • Derivar tasas a la par de la curva al contado
  • Bootstrap tasas al contado a partir de precios de bonos

Habilidades de aplicación

  • Compara bonos utilizando tasas apropiadas
  • Identificar oportunidades de arbitraje
  • Aplicar conceptos a los protocolos DeFi
  • Interpretar curvas de rendimiento del mundo real

Integración DeFi

  • Comprender la mecánica del protocolo de tasa fija
  • Puede analizar la tokenización de rendimiento
  • Sepa cómo los AMM crean curvas implícitas
  • Puede evaluar diferencias de tasas entre protocolos

Vista gráfica

Retroenlaces