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Convexidad de bonos basados ​​en el rendimiento y propiedades de cartera

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Tema 12: Convexidad de los bonos basados en el rendimiento y propiedades de la cartera

Cobertura de objetivos de aprendizaje

LO1: Calcular e interpretar la convexidad y describir el ajuste de la convexidad

Concepto central exam-focus

La convexidad es una métrica de riesgo complementaria que mide el efecto de segundo orden (no lineal) de los cambios en el rendimiento sobre el precio de un bono de tasa fija sin opciones. Mientras que la duración modificada proporciona sólo una aproximación lineal de los cambios de precios, la convexidad captura la curvatura en la relación precio-rendimiento: la segunda derivada matemática. Para movimientos de rendimiento más grandes, el ajuste de convexidad se vuelve crucial para una estimación precisa de los precios, especialmente para bonos de larga duración o mercados volátiles. La convexidad siempre es positiva para los bonos libres de opciones (la convexidad negativa surge solo con opciones integradas, como se explora en Tema 13), lo que significa que los tenedores de bonos siempre se benefician de la convexidad: ganan más de lo que predice la duración cuando los rendimientos caen, y pierden menos cuando los rendimientos aumentan. duration

Fórmulas y cálculos formula hp12c

  • Fórmula de ajuste de convexidad:

    %ΔPVFull ≈ (−AnnModDur × ΔYield) + [1/2 × AnnConvexity × (ΔYield)²]

  • Convexidad aproximada:

    ApproxCon = (PV⁻) + (PV⁺) − [2 × (PV₀)] / [(ΔYield)² × (PV₀)]

    Donde: PV⁻ = precio si el rendimiento disminuye, PV⁺ = precio si el rendimiento aumenta, PV₀ = precio actual

  • Convexidad de la hoja de cálculo (cálculo exacto):

    For each cash flow:
Convexity_CF = (Time) × (Time + 1) × (Weight) × (1 + r)^(-n)

AnnConvexity = Σ(Convexity_CF) / (Periods per year)²

  • Convexidad del dinero:

    MoneyCon = AnnConvexity × PVFull
ΔPVFull ≈ −(MoneyDur × ΔYield) + [1/2 × MoneyCon × (ΔYield)²]

  • Pasos HP 12C (Ajuste de convexidad):

    Example: ModDur = 8, Convexity = 50, ΔYield = 1%

8 [CHS] 0.01 [×]           (Duration effect = -0.08)
0.5 [ENTER] 50 [×]         (0.5 × Convexity)
0.01 [ENTER] 0.01 [×] [×]  (× ΔYield²)
[+]                        (Add to duration effect)
Result: -0.0775            (-7.75% price change)

  • Pasos HP 12C (convexidad aproximada):

    Example: PV₀ = 100, PV⁺ = 99.77, PV⁻ = 100.23, ΔYield = 0.05%

100.23 [ENTER] 99.77 [+]   (PV⁻ + PV⁺ = 200)
100 [ENTER] 2 [×] [-]      (- 2×PV₀)
0.0005 [ENTER] [x²]        (ΔYield²)
100 [×] [÷]                (Divide by ΔYield²×PV₀)
Result: 24.24              (Approximate convexity)

Ejemplos prácticos

  • Ejemplo de finanzas tradicionales: bono del tesoro a 30 años

    30-year Treasury, 4.625% coupon, YTM = 4.75%
Price: 98.022448
Modified Duration: 15.91
Convexity: 369.64

For +100 bps yield change:
Duration effect: -15.91%
Convexity adjustment: +1.85% (0.5 × 369.64 × 0.01²)
Total estimated change: -14.06%
Actual change: -14.04%

Error without convexity: 1.87%
Error with convexity: 0.02%

  • Aplicación de convexidad del dinero:

    $100M position in 5-year bond
Modified Duration: 4.59
Convexity: 24.24

Money Duration: $459M
Money Convexity: $2,424M

For +100 bps:
Duration loss: -$4,590,000
Convexity gain: +$121,200
Net change: -$4,468,800

Aplicación DeFi defi-application

El invariante StableSwap de Curve Finance proporciona una aplicación directa de optimización de convexidad en DeFi. Las AMM tradicionales como Uniswap utilizan la fórmula de producto constante (x*y=k), cuya alta convexidad crea una gran pérdida impermanente para los swaps de monedas estables. La innovación de Curve fue aplanar la curva de vinculación cerca del equilibrio, reduciendo la convexidad y generando aproximadamente un 80% menos de pérdida impermanente para pares estables. Esto es matemáticamente análogo a elegir entre carteras de bonos [[Topic-6-Fixed-Income-Bond-Valuation-Prices-and-Yields|bonos] de alta y baja convexidad]: la forma de la función de precios importa enormemente para los resultados esperados en condiciones de volatilidad.

OA2: Calcule el cambio porcentual del precio de un bono para un cambio específico en el rendimiento, dada la duración y la convexidad del bono.

Concepto central

  • Definición: La fórmula completa de estimación de precios combina componentes lineales (duración) y cuadráticos (convexidad) para predecir con precisión los cambios en el precio de los bonos para cualquier movimiento de rendimiento.

  • Por qué es importante: La duración por sí sola subestima las ganancias cuando los rendimientos caen y sobreestima las pérdidas cuando los rendimientos aumentan. El ajuste de convexidad corrige esta asimetría, crucial para la gestión de riesgos y la optimización de la cartera.

  • Componentes clave:

    • Componente de duración (primer orden, lineal)
    • Componente de convexidad (segundo orden, cuadrático)
    • Análisis de errores y límites de aproximación.
    • Umbrales de aplicación prácticos#### Fórmulas y cálculos

  • Fórmula completa de cambio de precio:

    %ΔPVFull = −(ModDur × ΔYield) + [0.5 × Convexity × (ΔYield)²]

Components:
- Linear term: −ModDur × ΔYield (always negative for yield increases)
- Quadratic term: 0.5 × Convexity × (ΔYield)² (always positive)

  • Análisis de errores:

    Error without convexity = Actual − Duration estimate
Error with convexity = Actual − (Duration + Convexity estimate)

Relative improvement = 1 − (Error with convexity / Error without convexity)

  • Reglas de decisión:

    Use convexity adjustment when:
- |ΔYield| > 50 bps
- Duration > 10 years
- Convexity > 100
- Required accuracy < 0.1%

  • Pasos HP 12C (Cálculo completo):

    Example: ModDur = 6, Convexity = 40, ΔYield = -0.5%

6 [ENTER] 0.005 [×]        (Duration effect = 0.03)
0.5 [ENTER] 40 [×]         (0.5 × Convexity = 20)
0.005 [x²] [×]             (× (ΔYield)² = 0.0005)
[+]                        (Total effect)
Result: 0.0305             (+3.05% price change)

Ejemplos prácticos

  • Comparación: cambios de rendimiento pequeños versus grandes:

    Bond: ModDur = 10, Convexity = 150

For ±25 bps:
Duration only: ±2.50%
With convexity: -2.49% / +2.51%
Convexity contribution: 0.01%

For ±200 bps:
Duration only: ±20.00%
With convexity: -17.00% / +23.00%
Convexity contribution: 3.00%

  • Análisis de Impacto de la Cartera:

    $500M portfolio, Weighted ModDur = 7.5, Weighted Convexity = 85

Scenario: Fed raises rates 75 bps
Duration loss: -5.625% = -$28.125M
Convexity gain: +0.239% = +$1.195M
Net loss: -5.386% = -$26.930M

Saved by convexity: $1.195M (4.2% reduction in loss)

Aplicación DeFi

  • Ejemplo de protocolo: optimización del rendimiento de Yearn Finance
  • Implementación: los cálculos de convexidad optimizan los umbrales de reequilibrio de la bóveda
  • Ventajas/Desafíos:
    • Ventajas: mejor momento para los cambios de estrategia, costos de transacción reducidos
    • Desafíos: cálculo de la convexidad en cadena costoso, dependencias de Oracle
    • Ejemplo: la bóveda yvUSDC utiliza activadores de convexidad para cambiar entre Compuesto/Aave cuando el diferencial de tasas excede el umbral ajustado por convexidad

OA3: Calcular la duración y la convexidad de la cartera y explicar las limitaciones de estas medidas

Concepto central

  • Definición: La duración y la convexidad de la cartera son promedios ponderados de las estadísticas de bonos individuales, lo que proporciona medidas agregadas de la sensibilidad a las tasas de interés para toda la cartera.
  • Por qué es importante: las métricas a nivel de cartera permiten la gestión de riesgos a escala, facilitan las decisiones de cobertura y permiten la comparación entre diferentes estrategias de cartera (barra versus viñeta).
  • Componentes clave:
    • Metodología de ponderación del valor de mercado
    • Supuestos y limitaciones de agregación.
    • Requisito de turnos paralelos
    • Consideraciones sobre la curva de rendimiento

Fórmulas y cálculos

  • Duración de la cartera (método del promedio ponderado):

    Portfolio Duration = Σ(wi × Durationi)
where: wi = MVi / Σ(MV) = market weight of bond i

  • Convexidad de la cartera (método del promedio ponderado):

    Portfolio Convexity = Σ(wi × Convexityi)

  • Método Alternativo (Flujos de Caja Agregados):

    1. Aggregate all portfolio cash flows by time period
2. Calculate duration/convexity using aggregate flows
3. More theoretically correct but computationally intensive

  • Cambio de precio de cartera:

    %ΔPortfolio ≈ −(Portfolio Duration × ΔYield) +
              [0.5 × Portfolio Convexity × (ΔYield)²]

  • Pasos HP 12C (Métricas de cartera):

    Example: Two bonds, 60%/40% weights
Bond A: Duration = 5, Convexity = 30
Bond B: Duration = 10, Convexity = 80

Portfolio Duration:
0.6 [ENTER] 5 [×]          (Bond A contribution = 3)
0.4 [ENTER] 10 [×] [+]     (Bond B contribution = 4)
Result: 7                   (Portfolio duration)

Portfolio Convexity:
0.6 [ENTER] 30 [×]         (Bond A contribution = 18)
0.4 [ENTER] 80 [×] [+]     (Bond B contribution = 32)
Result: 50                  (Portfolio convexity)

Ejemplos prácticos

  • Comparación de la cartera de barras y balas:

    Both portfolios: $100M, Duration = 10 years

Bullet Portfolio (100% in 10-year bonds):
- Convexity: 120
- For ±100 bps: -8.80% / +11.20%

Barbell Portfolio (50% 5-year, 50% 30-year):
- Convexity: 200
- For ±100 bps: -8.50% / +11.50%

Barbell advantage: 30 bps in both directions
Annual value in volatile markets: ~$300,000

  • Ejemplo de cartera real:

    Investment Grade Corporate Portfolio:

Holdings:
- 30% in 2-5 year bonds (Duration = 3.5, Convexity = 15)
- 50% in 5-10 year bonds (Duration = 7.2, Convexity = 65)
- 20% in 10-30 year bonds (Duration = 15.8, Convexity = 280)

Portfolio metrics:
Duration = 0.3(3.5) + 0.5(7.2) + 0.2(15.8) = 7.81
Convexity = 0.3(15) + 0.5(65) + 0.2(280) = 93

For +50 bps shock:
Estimated change: -3.68%
Actual (non-parallel): -3.95%
Error from assumptions: 27 bps

Aplicación DeFi

  • Ejemplo de protocolo: grupos ponderados de Balancer v2
  • Implementación: Métricas de duración/convexidad de la cartera para grupos de activos múltiples con diferentes sensibilidades a las tasas
  • Ventajas/Desafíos:
    • Ventajas: reequilibrio dinámico basado en convexidad agregada, paridad de riesgo automatizada
    • Desafíos: correlaciones entre activos, diferentes convenciones de rendimiento, complejidad del oráculo
    • Ejemplo: el grupo 80/20 WETH/USDC ajusta las ponderaciones en función de los diferenciales de duración implícitos para mantener la duración objetivo de la cartera.

Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)

Conocimiento esencial (80% del valor)

  1. Conceptos básicos de la convexidad: sensibilidad al precio de segundo orden, siempre positiva para los bonos sin opciones
  2. Fórmula de cambio de precio: %ΔPrecio ≈ −Duración × ΔRendimiento + 0,5 × Convexidad × (ΔRendimiento)²
  3. Métricas de cartera: promedios ponderados de estadísticas de bonos individuales
  4. Relaciones clave: mayor convexidad debido a un vencimiento más largo, cupón más bajo, menor rendimiento

Conceptos Avanzados (20% restante)1. Convexidad del dinero para riesgo a nivel de posición

  1. Construcción de cartera con barra o bala
  2. Limitaciones del supuesto de cambios paralelos
  3. Convexidad efectiva para bonos con opciones

Hoja de fórmula completa formula

Fórmulas primarias

1. Convexity Adjustment:
   %ΔPVFull ≈ (−ModDur × ΔYield) + [0.5 × Convexity × (ΔYield)²]

2. Approximate Convexity:
   ApproxCon = [(PV⁻) + (PV⁺) − 2(PV₀)] / [(ΔYield)² × (PV₀)]

3. Money Convexity:
   MoneyCon = AnnConvexity × PVFull

4. Portfolio Duration:
   Portfolio Duration = Σ(wi × Durationi)

5. Portfolio Convexity:
   Portfolio Convexity = Σ(wi × Convexityi)

6. Exact Convexity (Spreadsheet):
   ConvexityCF = t × (t+1) × WeightCF × (1+r)^(-periods)
   AnnConvexity = Σ(ConvexityCF) / (periods per year)²

Definiciones de variables

  • ModDur: Duración modificada
  • ΔRendimiento: Cambio en el rendimiento al vencimiento
  • PV⁺, PV⁻, PV₀: Precios con mayor rendimiento, menor rendimiento, rendimiento actual
  • wi: Ponderación del valor de mercado del bono i
  • t: Tiempo hasta la recepción del flujo de caja
  • r: Rendimiento periódico

Secuencias de la calculadora HP 12C hp12c

Cálculo del ajuste de convexidad

Given: ModDur = 8, Convexity = 50, ΔYield = +1%

Step 1: Duration effect
8 [CHS] [ENTER]
0.01 [×]
Store: -0.08

Step 2: Convexity effect
0.5 [ENTER]
50 [×]
0.01 [ENTER] 0.01 [×] [×]
Store: 0.0025

Step 3: Total effect
[RCL] [+]
Result: -0.0775 (-7.75%)

Cálculo de la convexidad de la cartera

Bond A: Weight = 40%, Convexity = 25
Bond B: Weight = 60%, Convexity = 75

0.40 [ENTER] 25 [×]        → 10
0.60 [ENTER] 75 [×]        → 45
[+]                        → 55 (Portfolio Convexity)

Convexidad aproximada a partir de precios

PV₀ = 100, PV⁺ = 99.5, PV⁻ = 100.51, ΔYield = 0.1%

99.5 [ENTER] 100.51 [+]    → 200.01
100 [ENTER] 2 [×] [-]      → 0.01
0.001 [x²] [ENTER]         → 0.000001
100 [×] [÷]                → 100 (Approximate Convexity)

Problemas de práctica

Nivel Básico

  1. Ajuste de convexidad simple: Un bono tiene una duración modificada de 5 y una convexidad de 25. Calcule el cambio porcentual de precio para un aumento de 50 pb en el rendimiento.

    • Respuesta: -2,44% [−5(0,005) + 0,5(25)(0,0025)]

  2. Duración de la Cartera: La cartera tiene un 70% en el Bono A (Duración = 4) y un 30% en el Bono B (Duración = 8). Encuentre la duración de la cartera.

    • Answer: 5.2 years [0.7(4) + 0.3(8)]

  3. Convexidad del Dinero: Bono con convexidad de 40 y precio de $950. Calcular la convexidad del dinero.

    • Respuesta: 38.000 dólares [40 × 950]

Nivel Intermedio

  1. Estimación completa del precio: Bono con ModDur = 12, Convexidad = 180. Estima los cambios de precio para: a) -75 pb: +9,51% [12(0,0075) + 0,5(180)(0,005625)] b) +150 pb: -15,97% [−12(0,015) + 0,5(180)(0,0225)]

  2. Métricas de cartera: Cartera de tres bonos:

    • Enlace X: 25%, Duración = 3, Convexidad = 12
    • Enlace Y: 45%, Duración = 6, Convexidad = 45
    • Enlace Z: 30%, Duración = 10, Convexidad = 125

    Duración de la cartera: 6,45 años Convexidad de la cartera: 60,75

  3. Construcción de barra: cree una barra con la misma duración que la bala de 7 años pero con mayor convexidad utilizando bonos de 2 y 15 años.

    • Solución: 62% en 2 años, 38% en 15 años
    • Duración de los partidos a los 7 años.
    • Convexidad: 95 vs 60 para bala

Nivel avanzado

  1. Análisis de errores: bono a 20 años, ModDur = 14,5, Convexidad = 310 Para +200 bps:

    • Sólo duración: -29,00%
    • Con convexidad: -22,80%
    • Si real = -22,65%, calcular los errores de aproximación
    • Respuesta: Error de duración = 6,35%, Error combinado = 0,15%

  2. Cartera Óptima: Dada la volatilidad del rendimiento de 100 pb anualmente, compare:

    • Cartera A: Duración = 8, Convexidad = 100
    • Cartera B: Duración = 8, Convexidad = 150

    Rendimiento superior esperado de B: 25 puntos básicos al año Por 100 millones de dólares: ventaja de 250.000 dólares

  3. Aplicación DeFi: Posición de Aave con $10 millones de USDC suministrados:

    • Duración efectiva: 2,5 años
    • Convexidad: 8
    • Si las tasas de DeFi caen 200 pb, estime el cambio en el valor de la posición
    • Respuesta: +5,08% = +$508.000

Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real

Optimización de la convexidad AMM

Curve Finance StableSwap:

  • AMM tradicional (Uniswap): la alta convexidad provoca un gran IL
  • StableSwap: la curva aplanada reduce la convexidad cerca del equilibrio
  • Resultado: precios 100 veces mejores para swaps de monedas estables
  • Base matemática: Minimización de la convexidad sujeta a restricciones de arbitraje.### Agricultura de rendimiento apalancado

Convexidad en posiciones apalancadas:

Base position: $1M at 5% yield, Duration = 3
3x leverage at 2% borrow cost

Effective duration: 9 years
Effective convexity: 81
Net yield: 11%

For -100 bps rate move:
Position gain: +9.41%
Demonstrates convexity amplification with leverage

Protocolos de préstamos a tasa fija

Ejemplo de finanzas nocionales:

  • Emite préstamos a tipo fijo con convexidad incorporada
  • Los tokens fCash tienen propiedades de convexidad similares a las de un bono.
  • Los fondos de liquidez deben gestionar el riesgo de convexidad agregado
  • Utiliza límites de convexidad para evitar desequilibrios en el grupo.

Estrategias de agregación de rendimiento

Bóvedas Yearn v3:

  • Se ajusta dinámicamente entre protocolos basándose en rendimientos ajustados por convexidad
  • Factores que influyen en la volatilidad de las tasas y los beneficios de la convexidad
  • Los activadores de reequilibrio incorporan umbrales de convexidad.
  • Optimiza el rendimiento total, incluidas las ganancias de convexidad

Errores comunes y consejos para los exámenes

Errores de cálculo que se deben evitar

  1. Olvidar el factor 0,5 en el ajuste de convexidad
  2. Usar unidades incorrectas (convexidad anual versus semestral)
  3. Confusión de signos (la convexidad siempre aumenta el precio, ya sea que las tarifas suban o bajen)
  4. Mezcla decimal/porcentual (0,01 frente a 1 % para cambios de rendimiento)

Trampas conceptuales

  1. Supuesto de cambio paralelo: recuerde que esta es la limitación clave
  2. Convexidad negativa: Solo ocurre con opciones integradas (bonos rescatables)
  3. Convexidad ≠ Duración²: Son medidas de riesgo independientes
  4. Convexidad de la cartera: no se puede simplemente promediar sin ponderaciones

Estrategia de examen

  1. Compruebe si se necesita convexidad: para <50 bps, la duración suele ser suficiente
  2. Consistencia de unidades: haga coincidir el formato de cambio de rendimiento con la fórmula
  3. Métodos aproximados: Aceptable si el análisis no es factible
  4. Gestión del tiempo: los problemas de convexidad suelen tardar entre 2 y 3 minutos

Patrones de reconocimiento rápido

  • “Curvatura” o “segundo orden” → Tema de convexidad
  • “Gran cambio en el rendimiento” → Debe incluir convexidad
  • “Barra vs bala” → Comparar convexidades
  • “Estimación más precisa” → Agregar ajuste de convexidad

Conclusiones clave

Conceptos imprescindibles

  1. ✅ La convexidad mide la curvatura precio-rendimiento (segunda derivada)
  2. ✅ Siempre positivo para los bonos sin opciones
  3. ✅ Cambio de precio = Efecto duración + Ajuste de convexidad
  4. ✅ Las métricas de la cartera utilizan promedios ponderados del valor de mercado
  5. ✅ Una mayor convexidad siempre es beneficiosa para los tenedores de bonos

Fórmulas críticas

  1. ✅ %ΔPrecio ≈ −ModDur × ΔRendimiento + 0,5 × Convexidad × (ΔRendimiento)²
  2. ✅ Duración de la cartera = Σ(wi × Duracióni)
  3. ✅ Convexidad de cartera = Σ(wi × Convexityi)

Aplicaciones prácticas

  1. ✅ Utilice la convexidad para cambios de rendimiento >50 pb
  2. ✅ Los portafolios con barra tienen mayor convexidad que las balas
  3. ✅ Convexidad del dinero para la gestión de riesgos a nivel de posición
  4. ✅ Los protocolos DeFi incorporan convexidad en las curvas de vinculación

Referencias cruzadas y recursos adicionales

Temas financieros relacionados

Documentación del protocolo DeFi- Documento técnico de Curve StableSwap - Optimización de la convexidad

Lectura avanzada

  1. Fabozzi: “Mercados, análisis y estrategias de bonos” Cap. 4
  2. Tuckman: “Valores de renta fija” Cap. 5-6
  3. Investigación: “Sesgo de convexidad en futuros de eurodólares” (Grupo CME)
  4. Investigación DeFi: “Creadores de mercado automatizados y convexidad” (paradigma)

Herramientas y calculadoras en línea

Revisar la lista de verificación

Comprensión conceptual

  • Puede explicar por qué la convexidad siempre es positiva para los bonos sin opciones
  • Comprender la relación entre la convexidad y las características de enlace
  • Sepa cuándo el ajuste de convexidad es necesario y cuándo es opcional
  • Puede describir las limitaciones de las medidas de duración/convexidad de la cartera.

Competencia en cálculo

  • Calcular el ajuste de convexidad para cualquier cambio de rendimiento
  • Calcula la duración y la convexidad de la cartera a partir de componentes
  • Utilice una fórmula de convexidad aproximada con cambios de precios
  • Aplicar convexidad del dinero para dimensionar la posición

Habilidades de aplicación

  • Comparar las convexidades de la cartera con barra y bala
  • Identificar la convexidad en los protocolos DeFi
  • Reconocer el papel de la convexidad en la gestión de riesgos
  • Evaluar compensaciones de convexidad en la construcción de carteras

Preparación para el examen

  • Completa todos los problemas de práctica sin errores de calculadora.
  • Puede resolver problemas de convexidad en <3 minutos
  • Fórmulas y relaciones clave memorizadas
  • Comprenda todos los objetivos de aprendizaje a fondo

Vista gráfica

Retroenlaces