Fijación de precios y valoración de contratos a plazo y de un subyacente con diferentes vencimientos
Cobertura de objetivos de aprendizaje
OA1: Explique cómo se determinan el valor y el precio de un contrato a plazo al inicio, durante la vida del contrato y al vencimiento.
Concepto central
Los contratos a plazo tienen características distintas de precio y valor en diferentes puntos de su ciclo de vida. El precio a plazo se fija al inicio, mientras que el valor a plazo fluctúa según las condiciones del mercado. Comprender esta distinción (precio versus valor) es crucial para la gestión de riesgos y la contabilidad de ajuste al mercado, y es una trampa común en los exámenes. El marco de precios se basa en los principios costo de transporte y no-arbitrage. exam-focus
Fórmulas clave formula pricing
- Precio a plazo al inicio: F₀(T) = S₀(1 + r)
- Valor al inicio: V₀(T) = 0
- Valor durante la vida: Vₜ(T) = Sₜ - F₀(T)(1 + r)^-(T-t)
- Valor al vencimiento: V_T(T) = S_T - F₀(T)
Ejemplos
Ejemplo de cálculo de MTM:
- Precio a plazo: INR 300,84
- Lugar actual: INR 285
- Tasa libre de riesgo: 4%
- Plazo de vencimiento: 0,25 años
- Valor MTM: 285 - 300,84(1,04)^-0,25 = -INR 12,90 (pérdida por mucho tiempo)
Ejemplo de liquidación:
- Precio a plazo: $100
- Spot al vencimiento: $108
- Ganancia de posición larga: $108 - $100 = $8
- Pérdida de posición corta: $100 - $108 = -$8
Aplicación DeFi defi-application
Perpetual Protocol V2 implementa un AMM virtual para valoración a plazo. Los precios de marcado se actualizan en cada bloque (aproximadamente 12 segundos), los pagos de financiación liquidan las diferencias de precio de mercado continuamente y la ausencia de una fecha de vencimiento elimina el riesgo de liquidación final. Esta estructura perpetua es una innovación de DeFi que reimagina el ciclo de vida del contrato futures.
Implementación de contrato inteligente:
function calculateMTM(uint256 spotPrice, uint256 forwardPrice, uint256 timeToExpiry) {
uint256 discountedForward = forwardPrice * (10000 / (10000 + rate * timeToExpiry));
return spotPrice > discountedForward ? spotPrice - discountedForward : 0;
}OA2: Explique cómo se determinan las tasas a plazo para los contratos a plazo de tasas de interés y describa los usos de estas tasas a plazo.
Concepto central
Los tipos a plazo son tipos de interés futuros implícitos en los tipos al contado actuales. Forman la base para fijar el precio de los derivados de tipos de interés y gestionar las exposiciones futuras a préstamos/préstamos a través de instrumentos como los acuerdos de tipos a plazo (FRA). Este concepto se conecta directamente con el análisis de la curva de rendimiento de renta fija y con el precios de swap, donde el tipo de swap a la par es un promedio ponderado de los tipos a plazo. exam-focus
Fórmulas clave formula pricing
- Tipo a plazo implícito: (1 + zA)^A x (1 + IFR{A,B-A})^{B-A} = (1 + z_B)
- Liquidación FRA: Pago Neto = (MRR*{B-A} - IFR*{A,B-A}) x Nocional x Periodo
- PV de la liquidación FRA: Liquidación en efectivo = Pago neto / (1 + MRR_{B-A} x Periodo)
- Factor de descuento: DF_i = 1/(1 + z_i)
Ejemplos
Tasas a plazo de arranque:
- Tasa al contado a 1 año: 2,396%
- Tasa al contado a 2 años: 3,420%
- Implícito 1y1y forward: (1.03420)² / 1.02396 - 1 = 4.454%
Cálculo del acuerdo FRA:- Nocional: 100.000.000 CNY
- Tipo fijo: 2,243%
- Tasa de mercado: 2,150%
- Periodo: 90/360
- Pago neto: (2,150% - 2,243%) × 100M × 0,25 = -CNY 23.250
- Liquidación PV: -23.250 / (1 + 0,0215/4) = -CNY 23.126
Aplicación DeFi defi-application
Yield Protocol crea préstamos a tasa fija a través de FRA tokenizados: los fyTokens representan compromisos de rendimiento futuros, los creadores de mercado automatizados cotizan las tasas a plazo y los contratos inteligentes se liquidan al vencimiento. Esta es una implementación directa de DeFi del marco de tipos de interés a plazo implícito.
La función de cambio de tarifas de Aave V3 permite a los usuarios moverse entre tarifas fijas y variables, con tarifas a plazo implícitas que determinan el precio de conversión. El protocolo calcula el valor razonable utilizando curvas de rendimiento en cadena, un análogo descentralizado del proceso de arranque de fija.
Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)
Crítico 20% para dominar:
- Precio frente a valor: precio a plazo fijado al inicio, el valor fluctúa con el mercado
- Fórmula MTM: V_t = S_t - F_0 × DF(T-t)
- Relación de tipos a plazo: los tipos al contado implican tipos a plazo únicos
- Mecánica de FRA: Instrumento de cobertura de tipos de interés liquidado en efectivo
Resultados en 80% de comprensión:
- Todas las valoraciones a plazo siguen el mismo principio de descuento.
- Los tipos a plazo evitan el arbitraje entre tipos al contado.
- Las FRA permiten la gestión del riesgo de tipos de interés
- El valor de mercado crea flujos de efectivo provisionales para el seguimiento de riesgos
Hoja de fórmula completa
Valoración de contratos a plazo
At Initiation (t=0):
V₀(T) = 0 [No-arbitrage condition]
F₀(T) = S₀(1 + r)^T [Basic forward price]
During Life (0<t<T):
Vₜ(T) = Sₜ - F₀(T)(1 + r)^-(T-t) [Long position MTM]
Vₜ(T) = F₀(T)(1 + r)^-(T-t) - Sₜ [Short position MTM]
At Expiration (t=T):
V_T(T) = S_T - F₀(T) [Long position settlement]
V_T(T) = F₀(T) - S_T [Short position settlement]
Contratos a plazo con costos/beneficios
Forward Price:
F₀(T) = (S₀ - PV₀(I) + PV₀(C))(1 + r)^T
MTM Valuation:
Vₜ(T) = (Sₜ - PVₜ(I) + PVₜ(C)) - F₀(T)(1 + r)^-(T-t)
Forwards de divisas
FX Forward Price:
F₀,f/d(T) = S₀,f/d × e^((rf - rd)T)
FX Forward Valuation:
Vₜ(T) = Sₜ,f/d - F₀,f/d(T) × e^-(rd)(T-t)
Contratos a plazo de tipos de interés
Discount Factor:
DF_i = 1/(1 + z_i)^i
Implied Forward Rate:
(1 + z_A)^A × (1 + IFR_{A,B-A})^{B-A} = (1 + z_B)^B
Solving for IFR:
IFR_{A,B-A} = [(1 + z_B)^B / (1 + z_A)^A]^(1/(B-A)) - 1
Acuerdos de tasas a plazo (FRA)
FRA Settlement (in arrears):
Net Payment = (MRR - IFR) × Notional × (Days/360)
PV of Settlement (paid at start):
Cash Settlement = Net Payment / (1 + MRR × (Days/360))
FRA Valuation During Life:
V_FRA = Notional × (IFR_new - IFR_old) × Period × DF
Secuencias de la calculadora HP 12C
Cálculo de MTM del contrato a plazo
Calculate PV of forward price:
[Forward Price] ENTER
[1] [+] [Rate] [%] [=]
[Time Remaining] [CHS] [y^x]
[×]
[Spot Price] [-]
Example: F=300.84, r=4%, t=0.25, S=285
300.84 ENTER
1.04
0.25 CHS y^x
×
285 -
Result: -12.90 (loss for long)
Bootstrapping tasas a plazo
Calculate 1y1y forward from spots:
[1] [+] [z2] [%] [=]
[2] [y^x]
[1] [+] [z1] [%] [÷]
[1] [-]
[100] [×]
Example: z1=2.396%, z2=3.420%
1.03420 ENTER
2 y^x
1.02396 ÷
1 -
100 ×
Result: 4.454%
Cálculo del acuerdo FRA
Net payment calculation:
[Market Rate] [-] [Fixed Rate] [=]
[%] [Notional] [×]
[Days] [×] [360] [÷]
PV of settlement:
[Net Payment] ENTER
[1] [+] [Market Rate] [%] [Days] [×] [360] [÷] [=]
[÷]
Example: MRR=2.15%, Fixed=2.243%, Notional=100M, Days=90
2.15 2.243 -
0.01 × 100000000 × 90 × 360 ÷
Result: -23,250
1.00538 ÷
Result: -23,126
Problemas de práctica
Nivel Básico
Problema 1: Valoración del contrato a plazo al inicio
- Precio al contado: 50€
- Tasa libre de riesgo: 3%
- Plazo de vencimiento: 6 meses
- Calcular el precio a plazo y el valor inicial.
Solución:
- F₀(T) = 50 × (1,03)^0,5 = 50,74 €
- V₀(T) = 0 (por principio de no arbitraje)
Problema 2: Valor al vencimiento
- Precio a plazo: $75
- Spot al vencimiento: $82
- Calcular liquidación para ambas partes.
Solución:
- Posición larga: $82 - $75 = $7 de ganancia
- Posición corta: $75 - $82 = -$7 de pérdida
Nivel Intermedio
Problema 3: valoración de MTM con dividendos
- Contado en stock: $120
- Precio a plazo: $122
- Dividendo en 3 meses: $2
- Tasa libre de riesgo: 4%
- Tiempo transcurrido: 1 mes
- Plazo de vencimiento: 5 meses
Solución:
- PV(dividendo) = 2/(1,04)^(2/12) = $1,987
- V_t = (120 - 1,987) - 122/(1,04)^(5/12) = -$2,31
Problema 4: Calcular la tasa forward implícita
- Tasa al contado a 6 meses: 2,5%
- Tasa al contado a 1 año: 3,0%
- Encuentra tasa de avance de 6m6m
Solución:
- (1,025)^0,5 × (1 + IFR₀.₅,₀.₅)^0,5 = 1,03
- IFR₀.₅,₀.₅ = (1,03/1,0124)² - 1 = 3,504%
Nivel avanzado
Problema 5: valoración de FRA con cambios de tarifas- Tasa FRA original 3x6: 2,75%
- Nocional: $50.000.000
- Spot actual a 3 meses: 2,5%
- Spot actual a 6 meses: 2,9%
- Tiempo transcurrido: 1 mes
Solución:
- Nueva tasa a plazo 2x5: [(1,029)^(5/12)/(1,025)^(2/12)]^(12/3) - 1 = 3,12%
- Diferencial de tasas: 3,12% - 2,75% = 0,37%
- Diferencial de pago: 50M × 0,0037 × (90/360) = $46,250
- PV en el mes 3: 46 250/(1,025)^(2/12) = $46 061
- PV hoy: 46.061/(1,025)^(1/12) = $45.968
Problema 6: Forward de divisas cruzadas con diferenciales de intereses
- Contado EUR/USD: 1,1500
- Tipo EUR a 6 meses: -0,5%
- Tasa USD 6 meses: 2,0%
- Calcule el plazo de 6 meses y el MTM después de 3 meses si el spot se convierte en 1,1650
Solución:
- Hacia adelante: 1,15 × e^((-0,005-0,02)×0,5) = 1,1357
- Después de 3 meses: V_t = 1,1650 - 1,1357×e^(-0,02×0,25) = 0,0349 USD por EUR
Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real
Protocolos directos de DeFi
Protocolo UMA - Forwards sintéticos:
// Simplified forward token creation
function createForward(address underlying, uint256 expiry, uint256 strikePrice) {
require(block.timestamp < expiry);
ForwardToken token = new ForwardToken(underlying, expiry, strikePrice);
// Collateralization logic
return address(token);
}Opyn - Inicio directo options:
- Utiliza precios a plazo para determinar el ejercicio.
- Liquidación automatizada al vencimiento
- Requisitos de garantía basados en la volatilidad futura
Mercados de tipos de interés en DeFi
Financiamiento nocional - Préstamos a tasa fija:
- Los tokens fCash representan acuerdos de tipos a plazo
- Los grupos de AMM proporcionan descubrimiento de tasas a plazo
- Calce de vencimientos a través de fondos de liquidez
Element Finance - Tokenización de rendimiento:
- Tokens principales (PT) y tokens de rendimiento (YT)
- Tasas a plazo implícitas de los precios PT
- Convergencia a la par al vencimiento
Aplicaciones financieras tradicionales
Cobertura cambiaria corporativa:
- Multinacional con ingresos en EUR, costes en USD
- Tipo de cambio de bloqueo a plazo de 6 meses
- Elimina el riesgo cambiario para flujos de efectivo conocidos
Gestión de Activos y Pasivos Bancarios:
- Las FRA cubren el riesgo de brecha de tasas de interés
- Los swaps iniciales a plazo gestionan la duración
- Oportunidades de arbitraje de estructura de plazos.
Productores de materias primas:
- Las compañías petroleras utilizan contratos a término para fijar los precios.
- Ingresos por cosecha de cobertura de forwards agrícolas
- Los costos de almacenamiento impactan las curvas futuras
Errores comunes y consejos para los exámenes
Errores frecuentes
- Precio y valor confusos: Precio a plazo ≠ Valor a plazo
- Factor de descuento incorrecto: usar (T-t) en lugar del tiempo restante
- Momento de liquidación de FRA: Olvidar PV del pago
- Convenciones de signos: Pagos a largo plazo fijos en FRA (negativos si las tasas bajan)
Estrategia de examen
- Comprobación rápida: V₀ debe ser igual a cero al inicio
- Signos MTM: Las posiciones largas ganan si el spot sube, pierden si el spot baja
- Tasas a plazo: Debe evitar el arbitraje entre períodos
- Dirección de FRA: el pagador fijo se beneficia del aumento de las tasas
Ayudas para la memoria
| Concepto | Recuerda |
|---|---|
| Valor a plazo | ”Spot menos adelantado con descuento” |
| Acuerdo FRA | ”Mercado menos fijo, luego descuento” |
| Tasa a plazo | ”Futuro = Presente compuesto” |
| Sincronización MTM | ”Descuento por tiempo restante” |
Conclusiones clave1. El precio a plazo se fija al inicio; valor a plazo cambia con las condiciones del mercado
- El principio de no arbitraje garantiza que V₀ = 0 al inicio del contrato
- Valoración Mark-to-market = Spot - PV(Precio a plazo)
- Los tipos a plazo están implícitos en la estructura de plazos del tipo de interés al contado.
- Las FRA permiten cubrir exposiciones futuras a tipos de interés
- El momento de la liquidación es importante: los FRA se liquidan al inicio del período, los forwards al vencimiento
- Protocolos DeFi tokenizan compromisos a plazo para mejorar la liquidez
Referencias cruzadas y recursos adicionales
Temas financieros relacionados
- Tema 4: Costo de transporte (base para la fijación de precios a plazo)
- Tema 6: Contratos de futuros (diferencias de liquidación diaria)
- Tema 7: Swaps (serie de contratos a plazo)
- Volumen 6 Tema 9: Estructura temporal de las tasas de interés
Recursos DeFi
- Documentos nocionales: protocolo de tasa fija
- Element Docs: tokenización de rendimiento
- UMA Docs: Activos sintéticos
Referencias Académicas
- Cox, Ingersoll, Ross (1981) - Modelos de estructura de términos
- Heath, Jarrow, Morton (1992) - Modelos de tipos de interés a plazo
- Hull (2018) - “Opciones, futuros y otros derivados” Cap. 4-5
Revisar la lista de verificación
Comprensión conceptual
- Distinguir entre precio a plazo y valor a plazo
- Explica por qué el valor inicial es igual a cero
- Comprender la mecánica de valoración de MTM
- Sepa cómo se relacionan las tasas a plazo con las tasas al contado
Habilidades de cálculo
- Calcular precios a plazo con y sin carry
- Calcula los valores de MTM durante la vida del contrato.
- Derivar tipos a plazo implícitos a partir de tipos al contado
- Determinar los montos de liquidación de FRA
Capacidad de aplicación
- Diseñar estrategias de cobertura utilizando forwards
- Identificar el arbitraje a partir de inconsistencias de tasas a plazo
- Evaluar FRA frente a alternativas de tasa flotante
- Evaluar los mecanismos del protocolo directo DeFi
Dominio de la fórmula
- V_t(T) = S_t - F₀(T)(1 + r)^-(Tt)
- (1 + zA)^A × (1 + IFR{A,B-A})^{B-A} = (1 + z_B)
- Liquidación FRA = (MRR - IFR) × Nocional × Periodo
- Todas las variaciones memorizadas y comprendidas