Arbitraje, replicación y costo de carry en la fijación de precios de derivados

Cobertura de objetivos de aprendizaje

OA1: Explicar cómo se utilizan los conceptos de arbitraje y replicación en la fijación de precios de derivados

Concepto central

El arbitraje y la replicación forman la base de la fijación de precios de derivados al establecer que flujos de efectivo idénticos deben tener precios idénticos. Este principio no-arbitrage garantiza que los precios de los derivados sean consistentes con sus activos subyacentes a través de la ausencia de oportunidades de ganancias libres de riesgo. Cada fórmula de fijación de precios en los temas restantes, desde precios a plazo hasta el modelo binomial, se basa en esta base. exam-focus

Fórmulas clave formula no-arbitrage

• Condición de no arbitraje: S₀ = S_T(1 + r)^(-T)
• Ley del precio único: S₀^A = S₀^B (activos idénticos)
• Replicación directa: F₀(T) = S₀(1 + r)
• Recompensa de replicación: CF_T = S_T - F₀(T) (avance largo)

Ejemplos

Ejemplo de oportunidad de arbitraje:

• Dos bonos cupón cero: 99 euros frente a 99,15 euros
• Beneficio de arbitraje: 0,15 EUR por bono
• Estrategia: Vender a 99,15 EUR, comprar a 99 EUR

Ejemplo de replicación:

• Oro spot: USD1.783,28
• Tasa libre de riesgo: 2%
• Tiempo: 0,25 años
• Precio a plazo: USD1.783,28 × (1,02)^0,25 = USD1.792,13

Aplicación DeFi defi-application

En protocolos DeFi como dYdX y Perpetual Protocol, los robots de arbitraje mantienen la paridad de precios entre los precios al contado en DEX (Uniswap) y los precios perpetuos de futuros. Las tasas de financiación se ajustan continuamente para eliminar oportunidades de arbitraje, cumpliendo la misma función económica que las condiciones no-arbitrage impuestas por los creadores de mercado en las finanzas tradicionales.

Los contratos inteligentes hacen cumplir estas condiciones a través de creadores de mercado automatizados (AMM), mecanismos de arbitraje de préstamos rápidos y oráculos de precios entre protocolos (Chainlink). La velocidad y la atomicidad de las transacciones en cadena significan que las oportunidades de arbitraje en DeFi se pueden capturar y eliminar dentro de un solo bloque.

OA2: Explique la diferencia entre el precio al contado y el precio futuro esperado y el costo de acarreo

Concepto central

El modelo de costo de transporte explica por qué los precios forward difieren de los precios al contado en función de los costos y beneficios netos de mantener el activo subyacente. Esto incluye los costos de oportunidad (la tasa libre de riesgo), los costos de almacenamiento y los ingresos generados por el activo. El modelo es la columna vertebral cuantitativa de todo compromiso pricing en el plan de estudios de finanzas. exam-focus

Fórmulas clave formula pricing

• Costo básico de transporte: F₀(T) = S₀(1 + r)
• Con costos/beneficios: F₀(T) = [S₀ - PV₀(I) + PV₀(C)](1 + r)
• Modelo de tasa continua: F₀(T) = S₀e^((r+c-i)T)
• FX hacia adelante: F₀,f/d(T) = S₀,f/d x e^((r_f-r_d)T)

Ejemplos

Patrimonio con Dividendos (Unilever):

• Contado: 50 EUR
• Dividendo: EUR0,30 trimestral
• Libre de riesgo: 5%
• Tiempo: 6 meses
• PV(dividendos): EUR0,5892
• A plazo: (50 EUR - 0,5892 EUR)(1,05)^0,5 = 50,63 EUR

Producto con almacenamiento (oro):- Contado: USD1.783,28

• Costo de almacenamiento: USD2 al vencimiento
• PV (almacenamiento): USD 1,99
• A plazo: (USD1.783,28 + USD1,99)(1,02)^0,25 = USD1.794,13

Aplicación DeFi defi-application

Synthetix implementa el costo de transferencia de tasas de financiamiento para activos sintéticos, recompensas de apuesta (costo de transferencia negativo) y tarifas de protocolo (costo de transferencia positivo). Mientras tanto, Compound Finance demuestra los costos de mantenimiento directamente: el APY de oferta representa un beneficio de mantenimiento negativo, el APY de préstamo representa un costo de mantenimiento positivo y la apreciación del cToken refleja el mantenimiento neto. Estos mecanismos reflejan el marco tradicional de costo de transporte, con parámetros de contrato inteligente que reemplazan la tasa libre de riesgo y los términos de costo de almacenamiento.

Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)

Crítico 20% para dominar:

1. Principio de no arbitraje: flujos de efectivo idénticos → precios idénticos
2. Fórmula básica directa: F₀(T) = S₀(1 + r)
3. Costo de los componentes de transporte: Costo de oportunidad + Costos de almacenamiento - Beneficios de ingresos
4. Estrategia de replicación: Spot largo + Pedir prestado efectivo = Largo plazo

Resultados en 80% de comprensión:

• Todos los precios de derivados se derivan de la ausencia de arbitraje.
• Los precios a plazo se ajustan según los costos/beneficios de mantener
• La eficiencia del mercado elimina las oportunidades de arbitraje.
• La replicación permite la creación de posiciones sintéticas.

Hoja de fórmula completa

Relaciones de arbitraje

No-arbitrage condition:     S₀ = S_T/(1 + r)^T
Law of one price:           S₀^A = S₀^B
Arbitrage profit:           π = F₀(T)_market - F₀(T)_theoretical

Modelos de fijación de precios a futuro

Basic (discrete):           F₀(T) = S₀(1 + r)^T
Basic (continuous):         F₀(T) = S₀e^(rT)
With costs/benefits:        F₀(T) = [S₀ - PV₀(I) + PV₀(C)](1 + r)^T
Rate-based model:           F₀(T) = S₀e^((r+c-i)T)

Fórmulas específicas de activos

Equity with dividends:      F₀(T) = [S₀ - PV₀(Div)](1 + r)^T
Equity index:              F₀(T) = S₀e^((r-δ)T)        [δ = dividend yield]
Foreign exchange:          F₀,f/d(T) = S₀,f/d × e^((rf-rd)T)
Commodity with storage:    F₀(T) = [S₀ + PV₀(Storage)](1 + r)^T

Fórmulas de replicación

Long forward replication:   Borrow S₀, Buy spot
Short forward replication:  Lend S₀, Sell spot short
Synthetic position:         Long spot + Short forward = Risk-free bond

Condiciones del mercado

Contango:                   F₀(T) > S₀ (costs > benefits)
Backwardation:             F₀(T) < S₀ (benefits > costs)
Normal market:             F₀(T) = S₀(1 + r)^T

Secuencias de la calculadora HP 12C

Cálculo del precio a plazo

Basic Forward Price:
[Spot] ENTER
[1] [+] [Rate] [%] [=]
[Time] [y^x]
[×]

Example: S₀=$100, r=5%, T=0.5
100 ENTER
1.05
0.5 y^x
×
Result: $102.47

Valor actual de costos/beneficios

PV of future payment:
[Future Amount] ENTER
[1] [+] [Rate] [%] [=]
[Time] [CHS] [y^x]
[×]

Example: $2 cost in 0.25 years, r=2%
2 ENTER
1.02
0.25 CHS y^x
×
Result: $1.99

Cálculo de ganancias de arbitraje

Market price - Theoretical price:
[Market Forward] ENTER
[Spot] [1] [+] [Rate] [%] [=] [Time] [y^x] [×]
[-]

Example: Market=$52.50, Spot=$50, r=4%, T=0.5
52.50 ENTER
50 1.04 0.5 y^x ×
-
Result: $1.51 profit

Problemas de práctica

Nivel Básico

Problema 1: Calcular el precio a plazo

• Oro al contado: $1.800/oz
• Tasa libre de riesgo: 3%
• Tiempo: 6 meses

Solución: F₀(T) = 1.800 × (1,03)^0,5 = $1.826,65

Problema 2: Identificar oportunidades de arbitraje

• Contado en stock: $75
• Adelanto de 3 meses: $77
• Tasa libre de riesgo: 4%

Solución: Avance teórico = 75 × (1,04)^0,25 = $75,74 Avance del mercado ($77) > Theoretical ($75.74) Beneficio de arbitraje = $77 - $75,74 = $1,26

Nivel Intermedio

Problema 3: Adelante con dividendos

• Precio de las acciones: $120
• Dividendo trimestral: $1,50
• Tasa libre de riesgo: 6%
• Vencimiento a plazo: 9 meses

Solución: PV(dividendos) = 1,50/(1,06)^0,25 + 1,50/(1,06)^0,5 + 1,50/(1,06)^0,75 PV(dividendos) = 1,478 + 1,456 + 1,435 = $4,37 F₀(T) = (120 - 4,37) × (1,06)^0,75 = $120,14

Problema 4: Precios a término de divisas

• Contado EUR/USD: 1,1850
• Tipo de cambio EUR: 0,5%
• Tasa en dólares: 2,5%
• Tiempo: 1 año

Solución: F₀(T) = 1,1850 × e^((0,005-0,025)×1) = 1,1850 × e^(-0,02) = 1,1616

Nivel avanzado

Problema 5: Producto con rendimiento de almacenamiento y conveniencia

• Petróleo spot: $85/barril
• Tasa de coste de almacenamiento: 3% anual
• Rendimiento de conveniencia: 5% anual
• Tasa libre de riesgo: 4%
• Tiempo: 3 meses

Solución: F₀(T) = 85 × e^((0,04+0,03-0,05)×0,25) = 85 × e^(0,02×0,25) = $85,43

Problema 6: Estrategia de replicación de varios períodos Cree un avance sintético de 6 meses sobre el índice:

• Índice: 4.500
• Rentabilidad por dividendo: 2%
• Libre de riesgo: 3%

Solución:1. Préstamo: 4.500 al 3% 2. Comprar índice recibiendo dividendos del 2% 3. Precio neto a plazo: 4.500 × e^((0,03-0,02)×0,5) = 4.522,52 4. Liquidación al vencimiento: S_T - 4.522,52

Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real

Futuros perpetuos (dYdX, GMX) defi-application

• Tasa de financiación = (Marca - Índice) / Índice
• Financiación positiva: Los largos pagan a los cortos (contango)
• Financiación negativa: los cortos pagan a los largos (backwardation)
• Los períodos de financiación de 8 horas mantienen la convergencia de precios.

Activos sintéticos (Synthetix)

// Simplified synthetic forward creation
function createSyntheticForward(uint256 spotPrice, uint256 rate, uint256 time) {
    uint256 forwardPrice = spotPrice * (10000 + rate) ** time / 10000 ** time;
    mint(msg.sender, forwardPrice);
}

Arbitraje de préstamos flash (Aave)

// Arbitrage between spot and futures
if (futuresPrice > spotPrice * (1 + borrowRate)) {
  flashLoan(amount)
  buySpot(amount)
  sellFutures(amount)
  repayLoan(amount + fee)
  profit = futuresPrice - spotPrice - loanCost
}

Ejemplos de finanzas tradicionales

ETF de oro (GLD):

• Realiza un seguimiento del oro al contado menos los costos de almacenamiento/seguro
• El precio a plazo incluye tarifas de bóveda (~0,4% anual)
• No hay rendimiento de conveniencia para los tenedores financieros.

Forwards de moneda (Corporativos):

• Cobertura multinacional de exposición EUR/USD
• Bloqueos a plazo de 6 meses en el tipo de cambio
• Costo de transporte = diferencial de tasa de interés

Futuros agrícolas:

• Contango de trigo durante la cosecha (alta oferta)
• Backwardation durante la escasez (rendimiento de conveniencia)
• Costos de almacenamiento significativos para la entrega física

Errores comunes y consejos para los exámenes

Errores frecuentes

1. Olvidar el ajuste temporal: utilizar tasas anuales sin escalar para años parciales
2. Confusión de signos: Sumar costos cuando se deben restar beneficios
3. Discreto versus continuo: Mezclar (1+r)^T con e^(rT)
4. Errores de cálculo del PV: no descontar costos/beneficios futuros

Estrategia de examen

• Comprobación rápida: F₀(T) > S₀ implica un acarreo neto positivo
• Convención FX: Tasas de interés más altas se negocian con descuento a plazo
• Preguntas de arbitraje: Calcula siempre primero el precio teórico
• Escalado de tiempo: Mensual = T/12, Trimestral = T/4

Relaciones clave para memorizar

Condición	Adelante vs Spot	Estado del mercado
r + c > yo	F₀(T) > S₀	Contango
r + c <yo	F₀(T) < S₀	Retroceso
r + c = yo	F₀(T) = S₀	Equilibrio

Conclusiones clave

1. El precio sin arbitraje es la base de toda valoración de derivados
2. El costo de transporte explica la relación forward-spot a través de los costos netos de tenencia.
3. Replicación permite la creación de posiciones sintéticas utilizando spot y préstamos/préstamos
4. Los precios a plazo incorporan todos los costos y beneficios de mantener el subyacente
5. Las oportunidades de arbitraje se eliminan rápidamente en los mercados eficientes.
6. Protocolos DeFi automatizan el arbitraje mediante contratos inteligentes y AMM
7. El rendimiento por conveniencia puede causar un importante retroceso en los mercados de materias primas.

Referencias cruzadas y recursos adicionales

Temas financieros relacionados

• Tema 5: Valoración de contratos a plazo (se basa en el coste de transporte)
• Tema 6: Futuros vs forwards (impacto de la liquidación diaria)
• Tema 8: Precios de opciones (utiliza conceptos de replicación)
• Volumen 6 Tema 9: Estructura de plazos (acuerdos de tasas a plazo)

Recursos DeFi- Documentación dYdX: Implementación de futuros perpetuos

• Synthetix Litepaper: creación de activos sintéticos
• GMX Docs: perpetuas descentralizadas

Referencias Académicas

• Hull, J. “Opciones, futuros y otros derivados” - Capítulo 5
• Cox, Ross, Rubinstein (1979) - Valoración de opciones binomiales
• Black-Scholes (1973) - Fijación de precios de opciones mediante replicación

Revisar la lista de verificación

Comprensión conceptual

• Puede explicar por qué las oportunidades de arbitraje no pueden persistir
• Comprender cómo la replicación crea posiciones sintéticas
• Conozca los componentes del costo de transporte
• Puede identificar condiciones de contango y de retroceso

Habilidades de cálculo

• Calcular precios a plazo con varias estructuras de costo/beneficio
• Determinar las ganancias de arbitraje cuando los precios se desvían
• Aplicar costo de transporte a diferentes clases de activos
• Convertir entre capitalización discreta y continua

Capacidad de aplicación

• Identificar oportunidades de arbitraje del mundo real
• Diseño de estrategias de replicación para forwards.
• Explica los mecanismos de tasa de financiación de DeFi
• Analizar el rendimiento de conveniencia en los mercados de productos básicos

Dominio de la fórmula

• F₀(T) = S₀(1 + r)^T (directo básico)
• F₀(T) = [S₀ - PV₀(I) + PV₀(C)](1 + r)^T (con costos/beneficios)
• F₀,f/d(T) = S₀,f/d × e^((rf-rd)T) (FX hacia adelante)
• Todas las variaciones y aplicaciones memorizadas