Tema 9: Replicación de opciones utilizando la paridad Put-Call
Cobertura de objetivos de aprendizaje
OA1: Explique la paridad de compra y venta para opciones europeas
Concepto central
La paridad de compra y venta es una relación no-arbitrage fundamental que vincula los precios de las opciones europeas de compra y venta con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Demuestra que una opción de venta protectora (acciones + opción de venta) debe ser igual a una opción de compra fiduciaria (compra de compra + bono) para evitar oportunidades de arbitraje. Esta es una de las relaciones más importantes en todo el plan de estudios de derivados. exam-focus
Fórmula clave formula pricing
Put-Call Parity:
S₀ + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
Where:
S₀ = Current stock price
p₀ = Put option premium
c₀ = Call option premium
X = Strike price
r = Risk-free rate
T = Time to expiration
Formularios reorganizados
Synthetic Put:
p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T) - S₀
Synthetic Call:
c₀ = S₀ + p₀ - X(1 + r)^(-T)
Synthetic Stock:
S₀ = c₀ - p₀ + X(1 + r)^(-T)
Ejemplo práctico
Arbitraje de opciones de Apple:
- Precio de las acciones: $150
- Huelga: $145
- Prima de llamada: $10
- Tasa libre de riesgo: 3%
- Tiempo: 3 meses (0,25 años)
Calcular el precio de venta justo:
p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T) - S₀
p₀ = $10 + $145/(1.03)^0.25 - $150
p₀ = $10 + $143.93 - $150
p₀ = $3.93
Si las operaciones se realizan a $5 (sobrevaloradas):
- Beneficio de arbitraje = $5 - $3,93 = $1,07
Aplicación DeFi defi-application
El protocolo Opyn permite posiciones sintéticas creadas directamente a partir de la paridad put-call. Por ejemplo, una posición larga sintética de ETH se construye comprando una opción de compra de ETH (prima de 0,05 ETH) y vendiendo una opción de venta de ETH (prima de 0,05 ETH). El costo neto es cero (más la garantía), y la posición replica la posesión de ETH sin mantener el subyacente: la misma relación de acciones sintética derivada de la ecuación de paridad.
OA2: Explique la paridad de opciones put-call forward para opciones europeas
Concepto central
La paridad de compra a plazo extiende la relación para incluir contratos a plazo en lugar del activo subyacente. Muestra que la diferencia entre los precios de venta y de compra es igual al valor presente de la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio a plazo. Esta formulación es especialmente útil cuando no es fácil mantener el subyacente (materias primas, divisas). exam-focus
Fórmula clave
Put-Call Forward Parity:
F₀(T)(1 + r)^(-T) + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
Simplified Form:
p₀ - c₀ = [X - F₀(T)](1 + r)^(-T)
Where:
F₀(T) = Forward price at time 0 for delivery at T
Relación con la paridad estándar
Since F₀(T) = S₀(1 + r)^T for non-dividend assets:
Substituting:
S₀(1 + r)^T(1 + r)^(-T) + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
S₀ + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
This reduces to standard put-call parity
Ejemplo práctico
Opciones de divisas con contratos a plazo:
- Contado EUR/USD: 1,20
- Adelanto de 6 meses: 1,21
- Huelga: 1,22
- Tasa libre de riesgo: 2%
- Prima de llamada: $0.03
Calcular prima de venta:
p₀ - c₀ = [X - F₀(T)](1 + r)^(-T)
p₀ - $0.03 = [1.22 - 1.21](1.02)^(-0.5)
p₀ - $0.03 = 0.01 × 0.9901
p₀ = $0.03 + $0.0099 = $0.0399
Aplicación DeFi defi-application
El Protocolo perpetuo permite la exposición forward sintética combinando tasas de financiación de los delincuentes con opciones. Por ejemplo, se puede construir una posición a plazo de BTC poniendo en largo un delincuente de BTC (a una tasa de financiación de -0,01%/hora), luego vendiendo una llamada de cajero automático y comprando una venta de cajero automático. Esto crea un short forward sintético que captura el diferencial de tasas de financiación: una elegante aplicación en cadena de paridad forward.
Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)
El 20% que debes saber:
- Paridad de venta y compra: S₀ + p₀ = c₀ + X/(1+r)
- Venta de protección = Compra fiduciaria en pago
- Existe arbitraje cuando se viola la paridad
- Posiciones sintéticas creadas usando paridad
- La paridad a plazo utiliza el precio a plazo en lugar del precio al contado
El 80% que más importa:- La paridad sólo es válida para las opciones europeas.
- Se requiere la misma huelga y caducidad.
- La tasa libre de riesgo crea una diferencia de valor temporal
- Los dividendos modifican la relación.
- Todas las posiciones se pueden crear sintéticamente.
Hoja de fórmula completa
Paridad básica de venta y compra
Standard Form:
S₀ + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
With Dividends:
S₀ - PV(Div) + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
Posiciones sintéticas
Synthetic Call:
Long Stock + Long Put - Short Bond = Long Call
c₀ = S₀ + p₀ - X(1 + r)^(-T)
Synthetic Put:
Long Call + Long Bond - Short Stock = Long Put
p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T) - S₀
Synthetic Stock:
Long Call - Long Put + Long Bond = Long Stock
S₀ = c₀ - p₀ + X(1 + r)^(-T)
Synthetic Bond:
Long Stock + Long Put - Long Call = Long Bond
X(1 + r)^(-T) = S₀ + p₀ - c₀
Paridad directa
Basic Form:
F₀(T)(1 + r)^(-T) + p₀ = c₀ + X(1 + r)^(-T)
Difference Form:
p₀ - c₀ = [X - F₀(T)](1 + r)^(-T)
With Cost of Carry:
F₀(T) = S₀(1 + r + s - d)^T
Where s = storage cost, d = dividend yield
Condiciones de arbitraje
If S₀ + p₀ > c₀ + X(1 + r)^(-T):
→ Sell stock and put, buy call and bond
If S₀ + p₀ < c₀ + X(1 + r)^(-T):
→ Buy stock and put, sell call and bond
Secuencias de la calculadora HP 12C
Calcular el valor actual del bono
Strike = $100, r = 5%, T = 0.5 years
[f] [CLX]
100 [ENTER]
1.05 [ENTER]
0.5 [y^x]
[÷] // Result: $97.59
Comprobar la paridad Put-Call
S = $50, c = $5, p = $2, X = $48, r = 4%, T = 0.25
Left side (S + p):
[f] [CLX]
50 [ENTER]
2 [+] // = $52
Right side (c + PV(X)):
48 [ENTER]
1.04 [ENTER]
0.25 [y^x]
[÷] // = $47.53
5 [+] // = $52.53
Difference: $0.53 arbitrage opportunity
Cálculo de venta sintética
c = $8, X = $100, S = $105, r = 3%, T = 0.5
[f] [CLX]
100 [ENTER]
1.03 [ENTER]
0.5 [y^x]
[÷] // PV(X) = $98.52
8 [+] // = $106.52
105 [-] // p = $1.52
Problemas de práctica
Nivel Básico
Problema 1: Verifique la paridad put-call:
- Existencias: 50€
- Llamada: 4€
- Poner: 2€
- Huelga: 48€
- Tasa: 2%
- Tiempo: 6 meses
Solución:
Left side: S + p = €50 + €2 = €52
Right side: c + X/(1+r)^T
= €4 + €48/(1.02)^0.5
= €4 + €47.53
= €51.53
Difference = €0.47 (arbitrage opportunity)
Problema 2: Calcular el precio de la llamada sintética:
- Existencias: $75
- Poner: $3
- Huelga: $70
- Tasa: 4%
- Tiempo: 3 meses
Solución:
c = S + p - X/(1+r)^T
c = $75 + $3 - $70/(1.04)^0.25
c = $75 + $3 - $69.32
c = $8.68
Nivel Intermedio
Problema 3: Estrategia de arbitraje:
- Valores: ¥1000
- Llamada: ¥80
- Poner: ¥55
- Huelga: ¥950
- Tasa: 1%
- Tiempo: 1 año
- Se ha violado la paridad de compra y venta
Solución:
Check parity:
S + p = ¥1000 + ¥55 = ¥1055
c + X/(1+r)^T = ¥80 + ¥950/1.01 = ¥1020.59
Since S + p > c + X/(1+r)^T:
1. Sell stock: +¥1000
2. Sell put: +¥55
3. Buy call: -¥80
4. Buy bond: -¥940.59
Net profit: ¥34.41
Nivel avanzado
Problema 4: Paridad a plazo con dividendos:
- Contado: $100
- Dividendo: $2 en 3 meses
- Adelante (6 meses): $99
- Huelga: $95
- Llamada: $8
- Tasa: 5%
Solución:
Adjust spot for dividend:
S_adj = $100 - $2/(1.05)^0.25 = $98.02
Forward should be:
F = $98.02 × (1.05)^0.5 = $100.43
Using forward parity:
p - c = [X - F]/(1+r)^T
p - $8 = [$95 - $100.43]/(1.05)^0.5
p - $8 = -$5.31
p = $2.69
Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real
1. Protocolos de opciones DeFi
Arbitraje del Protocolo Lyra:
ETH Spot: $2000
Call (2100 strike): $50
Put (2100 strike): $140
Rate: 5%, Time: 30 days
Check parity:
S + p = $2000 + $140 = $2140
c + X/(1+r)^T = $50 + $2091.44 = $2141.44
Near perfect parity (AMM fees explain difference)
Posiciones Hegic Sintéticas:
- Crear exposición a monedas estables sintéticas
- Compre call USDC/DAI, venda put
- Réplicas con USDC
- Gana primas de opciones
2. Productos estructurados
Estrategias de financiación de cinta:
Principal Protected Note:
1. Buy zero-coupon bond: $950
2. Buy ATM call: $50
3. Total cost: $1000
4. Minimum return: $1000 (bond maturity)
5. Upside: Unlimited via call
Metabóvedas de Jones DAO:
- Utiliza paridad put-call para la cobertura delta.
- Mantiene posiciones neutrales al mercado.
- Ejemplo: bóveda jGLP con opciones superpuestas
3. Solicitudes de crédito defi-application
MakerDAO como opciones:
El mecanismo de acuñación de DAI de MakerDAO se puede entender a través de la lente de la paridad de compra y venta. Depositar ETH y acuñar DAI es económicamente equivalente a una opción de venta protectora: el usuario mantiene una posición larga en el subyacente (ETH) con una opción de venta sintética al precio de liquidación (el umbral del índice de garantía del 150%). La tarifa de estabilidad funciona como prima de venta.
DAI Minting = Protective Put:
- Deposit ETH (long underlying)
- Mint DAI (synthetic put at liquidation price)
- Protected downside at 150% collateral ratio
- Stability fee = put premium
Financiamiento compuesto:
Los préstamos compuestos se asemejan a una opción de compra cubierta: el usuario proporciona un activo (subyacente largo) y obtiene un rendimiento (análogo a la prima de opción de compra), con el riesgo de que el prestatario en caso de incumplimiento ejerza la “compra” sobre la garantía proporcionada.
Lending = Covered Call:
- Supply asset (long underlying)
- Earn yield (call premium)
- Risk: Borrower default (call exercise)
4. Ejemplos de finanzas corporativas
Bono Convertible Tesla:
Bond Analysis using Put-Call Parity:
- Bond = Stock + Put - Call
- $1000 bond convertible at $200
- Implied volatility from bond price
- Credit spread = put premium
Recompra de acciones de Apple:
Accelerated Repurchase = Synthetic Put:
- Company sells puts
- Strike below current price
- Premium reduces buyback cost
- Obligation to buy if exercised
Errores comunes y consejos para los exámenes
Errores comunes que se deben evitar
-
Usando opciones americanas
- La paridad sólo se cumple para los europeos.
- El ejercicio temprano rompe la relación
- Las opciones de venta estadounidenses suelen valer más
-
Olvidar el valor presente
- Hay que descontar la huelga
- Utilice tasa libre de riesgo
- El valor del tiempo importa
-
Dirección de arbitraje incorrecta
- Si izquierda > derecha: Vender izquierda, comprar derecha
- Si izquierda <derecha: compre a la izquierda, venda a la derecha
- Siempre verifique el flujo de caja neto4. Ignorar los dividendos
- Reduce stock price by PV(dividends)
- Affects call values negatively
- Affects put values positively
Consejos de estrategia para el examen
-
Comprobación rápida de paridad:
- Acciones + Venta deben ser iguales a Compra + Bono
- La diferencia indica arbitraje.
- Utilice la calculadora para PV rápidamente
-
Memoria de posición sintética:
- ¿Quieres llamar? Comprar acciones, comprar opciones de venta, vender bonos
- ¿Quieres poner? Comprar call, comprar bonos, vender acciones
- ¿Quieres acciones? Comprar call, vender put, comprar bonos
-
Atajo de paridad directa:
- Put - Call = PV(Strike - Forward)
- If forward > strike: Calls worth more
- If strike > forward: Puts worth more
Conclusiones clave
Debe recordar:
- S + p = c + X/(1+r)^T para opciones europeas
- Venta de protección = Compra fiduciaria Pagos
- Las cuatro posiciones se pueden crear sintéticamente
- Beneficios del arbitraje cuando se viola la paridad
- Paridad directa utiliza avance en lugar de spot
Ideas críticas:
- Bases para los modelos de valoración de opciones.
- Permite la creación de posiciones sintéticas.
- Arbitraje sin riesgos en caso de infracción
- Los protocolos DeFi automatizan el arbitraje
- Los diferenciales de crédito se relacionan con las primas de venta.
Referencias cruzadas y recursos adicionales
Temas relacionados:
- Tema 8: Factores de valoración de opciones
- Tema 10: Modelo de precios binomial
- Renta Fija: Bonos convertibles
- Finanzas Corporativas: Estructura de capital (vista de opciones)
Lecturas clave:
- Stoll (1969): “La relación entre los precios de venta y de compra”
- Merton (1973): “Teoría de la fijación racional de precios de opciones”
- Casco: Opciones, Futuros y Otros Derivados Cap. 11
Recursos de práctica:
- Calculadora de paridad CBOE Put-Call
- OptionStrat: demostraciones de paridad visual
- Khan Academy: vídeos de paridad Put-Call
Protocolos DeFi para estudiar:
- Lyra: Suite de opciones completa con paridad
- Opyn: Protocolo gamma para opciones
- Hegic: opciones en cadena con paridad
- Cinta: Productos estructurados usando paridad
- Dopex: Opciones del Atlántico con paridad
Revisar la lista de verificación
Comprensión conceptual
- ¿Puede indicar la fórmula de paridad de compra y venta?
- ¿Entiende la opción de venta protectora frente a la opción de compra fiduciaria?
- ¿Puede identificar oportunidades de arbitraje?
- ¿Conoce la relación de paridad directa?
Cálculos
- ¿Puedes calcular los precios de las opciones sintéticas?
- ¿Puedes determinar las ganancias del arbitraje?
- ¿Se puede aplicar la paridad directa?
- ¿Se puede ajustar por dividendos?
Aplicaciones
- ¿Puedes crear posiciones sintéticas?
- ¿Entiendes la interpretación del diferencial de crédito?
- ¿Se puede aplicar a bonos convertibles?
- ¿Puedes identificar aplicaciones DeFi?
Preparación para el examen
- Fórmula de paridad memorizada
- Identificación de arbitraje practicada
- Posiciones sintéticas revisadas
- Problemas de práctica completados
Integración DeFi
- Comprender el arbitraje en cadena
- Conoce protocolos de posición sintéticos
- Puede explicar la creación de mercado automatizada
- Familiarizado con productos estructurados