Tema 10: Valoración de un derivado utilizando un modelo binomial de un período
Cobertura de objetivos de aprendizaje
OA1: Explicar cómo valorar un derivado utilizando un modelo binomial de un período
Concepto central
El modelo binomial valora opciones suponiendo que el activo subyacente puede moverse solo a dos precios posibles durante un período. Al crear una cartera cubierta libre de riesgo que combina la opción y el activo subyacente, podemos determinar el valor razonable de la opción a través del precio no-arbitrage. Este modelo pone en práctica el concepto de replicación: si dos carteras producen beneficios idénticos en cada estado, deben tener el mismo precio hoy. exam-focus
Componentes clave
Binomial Tree Structure:
S₁ᵘ = S₀ × Ru (up move)
/
S₀
\
S₁ᵈ = S₀ × Rd (down move)
Where:
Ru = Up gross return (> 1)
Rd = Down gross return (< 1)
Fórmula de relación de cobertura formula pricing
h* = (c₁ᵘ - c₁ᵈ)/(S₁ᵘ - S₁ᵈ)
Where:
h* = Hedge ratio (delta)
c₁ᵘ = Call value if price goes up
c₁ᵈ = Call value if price goes down
S₁ᵘ = Stock price if up
S₁ᵈ = Stock price if down
Ejemplo práctico
Valoración de la opción de compra de Tesla:
- Precio actual: $200
- Huelga: $220
- Movimiento ascendente: +30% → $260
- Movimiento hacia abajo: -20% → $160
- Tasa libre de riesgo: 5%
Paso 1: Calcular los pagos
c₁ᵘ = Max(0, $260 - $220) = $40
c₁ᵈ = Max(0, $160 - $220) = $0
Paso 2: Calcular el índice de cobertura
h* = ($40 - $0)/($260 - $160) = 0.40
Paso 3: Crear una cartera cubierta
Buy 0.40 shares, sell 1 call
Up scenario: 0.40 × $260 - $40 = $64
Down scenario: 0.40 × $160 - $0 = $64
Portfolio is risk-free with value $64
Paso 4: Calcular el valor de la opción
0.40 × $200 - c₀ = $64/1.05
$80 - c₀ = $60.95
c₀ = $19.05
Aplicación DeFi defi-application
La liquidez concentrada Uniswap v3 es análoga a los rangos de precios binomiales. Los proveedores de liquidez establecen límites de precios que reflejan la estructura de dos estados del modelo binomial. Por ejemplo, en una posición ETH/USDC con un precio actual de $2000, el tick superior en $2200 se parece a S₁ᵘ y el tick inferior en $1800 se parece a S₁ᵈ. Las tarifas de LP obtenidas funcionan como la prima de la opción: la compensación por asumir el riesgo binario dentro del rango especificado.
OA2: Describir el concepto de neutralidad de riesgo en la fijación de precios de derivados
Concepto central
La fijación de precios neutral al riesgo valora los derivados como si todos los inversores fueran indiferentes al riesgo, utilizando probabilidades ajustadas que hacen que el rendimiento esperado de todos los activos sea igual a la tasa libre de riesgo. Esta poderosa abstracción simplifica la valoración al eliminar la necesidad de conocer las probabilidades reales o las preferencias de riesgo de los inversores. Combinado con el enfoque del índice de cobertura, proporciona dos caminos equivalentes hacia el mismo valor de opción: una técnica de verificación de examen frecuente. exam-focus
Fórmula de probabilidad neutral al riesgo formula
π = (1 + r - Rd)/(Ru - Rd)
Where:
π = Risk-neutral probability of up move
1-π = Risk-neutral probability of down move
r = Risk-free rate
Ru = Up gross return
Rd = Down gross return
Valor de la opción mediante fijación de precios neutral al riesgo
c₀ = [π × c₁ᵘ + (1-π) × c₁ᵈ]/(1+r)
Interpretation:
Option value = PV of expected payoff using risk-neutral probabilities
Ejemplo práctico
Opción de venta de Apple:
- Existencias: $150
- Huelga: $140
- Arriba: +20% → $180
- Abajo: -15% → $127,50
- Libre de riesgo: 3%
Calcule la probabilidad neutral al riesgo:
Ru = 1.20, Rd = 0.85
π = (1.03 - 0.85)/(1.20 - 0.85)
π = 0.18/0.35 = 0.514
Calcular pagos de venta:
p₁ᵘ = Max(0, $140 - $180) = $0
p₁ᵈ = Max(0, $140 - $127.50) = $12.50
Opción de venta de valor:
p₀ = [0.514 × $0 + 0.486 × $12.50]/1.03
p₀ = $6.075/1.03 = $5.90
Aplicación DeFi defi-application
El modelo de precios de GMX utiliza oráculos Chainlink para los precios y aplica principios de precios neutrales al riesgo a las perpetuas. El precio de marca del delincuente de BTC se ajusta a la tasa de financiación, alcanzando el equilibrio cuando las posiciones largas equivalen a las cortas. La tasa de financiación en sí misma revela una medida implícita de riesgo neutral: una expresión nativa de DeFi del mismo marco de probabilidad utilizado en el modelo binomial.## Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)
El 20% que debes saber:
- El modelo binomial supone dos posibles movimientos de precios
- El índice de cobertura crea una cartera libre de riesgos
- La probabilidad neutral al riesgo simplifica la valoración
- El principio de no arbitraje garantiza un precio único
- Las probabilidades reales no importan a la hora de fijar el precio
El 80% que más importa:
- Valor de la opción independiente de las preferencias de riesgo de los inversores.
- La volatilidad (diferencial entre alzas y bajas) impulsa el valor de la opción.
- La cobertura perfecta elimina el riesgo direccional
- La tasa libre de riesgo afecta el cálculo del valor presente
- El modelo se extiende a árboles de varios períodos.
Hoja de fórmula completa
Movimiento de precios
Up Move:
S₁ᵘ = S₀ × Ru = S₀ × (1 + u)
Down Move:
S₁ᵈ = S₀ × Rd = S₀ × (1 - d)
Gross Returns:
Ru = S₁ᵘ/S₀ > 1
Rd = S₁ᵈ/S₀ < 1
Pagos de opciones
Call Payoffs:
c₁ᵘ = Max(0, S₁ᵘ - X)
c₁ᵈ = Max(0, S₁ᵈ - X)
Put Payoffs:
p₁ᵘ = Max(0, X - S₁ᵘ)
p₁ᵈ = Max(0, X - S₁ᵈ)
Relación de cobertura (Delta)
Call Hedge Ratio:
h*c = (c₁ᵘ - c₁ᵈ)/(S₁ᵘ - S₁ᵈ)
Put Hedge Ratio:
h*p = (p₁ᵘ - p₁ᵈ)/(S₁ᵘ - S₁ᵈ)
Note: Put hedge ratio is negative
Valoración neutral al riesgo
Risk-Neutral Probability:
π = (1 + r - Rd)/(Ru - Rd)
Call Value:
c₀ = [π × c₁ᵘ + (1-π) × c₁ᵈ]/(1+r)
Put Value:
p₀ = [π × p₁ᵘ + (1-π) × p₁ᵈ]/(1+r)
Expected Stock Price (Risk-Neutral):
E[S₁] = π × S₁ᵘ + (1-π) × S₁ᵈ = S₀(1+r)
Replicación de cartera
Hedged Portfolio Value:
V₀ = h*S₀ - c₀
Terminal Value (Risk-Free):
V₁ = h*S₁ᵘ - c₁ᵘ = h*S₁ᵈ - c₁ᵈ
No-Arbitrage Condition:
V₀(1+r) = V₁
Secuencias de la calculadora HP 12C
Calcular la probabilidad neutral al riesgo
Example: r = 5%, up = 25%, down = -10%
[f] [CLX]
1.05 [ENTER] // 1 + r
0.90 [-] // - Rd
0.15 [STO] 1 // Store numerator
1.25 [ENTER] // Ru
0.90 [-] // - Rd
[RCL] 1 [x<>y]
[÷] // π = 0.4286
Calcular el valor de la opción
c₁ᵘ = $20, c₁ᵈ = $0, π = 0.4286, r = 5%
[f] [CLX]
0.4286 [ENTER]
20 [×] // π × c₁ᵘ = 8.572
0.5714 [ENTER]
0 [×] // (1-π) × c₁ᵈ = 0
[+] // Expected payoff = 8.572
1.05 [÷] // PV = $8.16
Calcular el índice de cobertura
c₁ᵘ = $15, c₁ᵈ = $0, S₁ᵘ = $60, S₁ᵈ = $40
[f] [CLX]
15 [ENTER]
0 [-] // c₁ᵘ - c₁ᵈ = 15
60 [ENTER]
40 [-] // S₁ᵘ - S₁ᵈ = 20
[÷] // h* = 0.75
Problemas de práctica
Nivel Básico
Problema 1: Calcular el valor de la opción de compra:
- Existencias: $100
- Huelga: $105
- Arriba: +15% → $115
- Abajo: -10% → $90
- Libre de riesgo: 4%
Solución:
Payoffs:
c₁ᵘ = Max(0, $115 - $105) = $10
c₁ᵈ = Max(0, $90 - $105) = $0
Risk-neutral probability:
π = (1.04 - 0.90)/(1.15 - 0.90) = 0.56
Option value:
c₀ = [0.56 × $10 + 0.44 × $0]/1.04
c₀ = $5.60/1.04 = $5.38
Problema 2: Encuentre el índice de cobertura:
- Movimientos de acciones: $50 → $65 o $40
- Pagos de llamadas: $10 o $0
Solución:
h* = ($10 - $0)/($65 - $40)
h* = $10/$25 = 0.40
Nivel Intermedio
Problema 3: Opción de venta con cobertura:
- Existencias: 80€
- Huelga: 85€
- Arriba: +25% → 100€
- Bajada: -20% → 64€
- Libre de riesgo: 3%
Solución:
Put payoffs:
p₁ᵘ = Max(0, €85 - €100) = €0
p₁ᵈ = Max(0, €85 - €64) = €21
Hedge ratio:
h* = (€0 - €21)/(€100 - €64) = -0.583
Risk-neutral probability:
π = (1.03 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = 0.511
Put value:
p₀ = [0.511 × €0 + 0.489 × €21]/1.03
p₀ = €10.27/1.03 = €9.97
Nivel avanzado
Problema 4: Oportunidad de arbitraje:
- Existencias: $75
- Arriba: +30%, Abajo: -25%
- Libre de riesgo: 6%
- Call (K=$80) cotizando a $8
- Encuentra ganancias de arbitraje
Solución:
Calculate fair value:
S₁ᵘ = $97.50, S₁ᵈ = $56.25
c₁ᵘ = $17.50, c₁ᵈ = $0
π = (1.06 - 0.75)/(1.30 - 0.75) = 0.564
Fair value:
c₀ = [0.564 × $17.50]/1.06 = $9.31
Market price $8 < Fair value $9.31
Strategy: Buy call, sell replicating portfolio
Arbitrage profit = $9.31 - $8 = $1.31
Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real
1. Creadores de mercado automatizados
Órdenes de rango Uniswap v3:
ETH/USDC Pool Example:
Current: $2000
Range: $1800-$2200
Similar to binomial:
- Lower bound = S₁ᵈ
- Upper bound = S₁ᵘ
- LP position = Short straddle
- Fees earned = Option premium
Cambio estable de curva:
- Concentrado alrededor de 1 dólar
- Precios acotados tipo binomial
- Ejemplo: grupo DAI/USDC
- Rango: $0.99-$1.01
- Alta concentración = Baja volatilidad
2. Protocolos de opciones
Protocolo Lyra:
Uses Black-Scholes with binomial approximation:
- Discretizes continuous model
- Updates every block (~12 seconds)
- Example: ETH option pricing
- Binomial steps for American exercise
- Risk-neutral measure from volatility surface
Dopex SSOV:
- Opciones de vencimiento semanal
- Selección de ataque tipo binomial
- Ejemplo: llamadas rETH
- Golpea a ±10%, ±20% desde el punto
- Resultados discretos como binomial
3. Protocolos de préstamo
Liquidación de Aave:
Binary outcome like binomial:
- Healthy: Collateral > Debt × LTV
- Liquidation: Collateral < Debt × LTV
Example: ETH collateral
- Current: $2000
- Liquidation: $1600 (80% LTV)
- Binary payoff structure
4. Ejemplos corporativos del mundo real
Precio de los bonos convertibles:
Tesla Convertible:
- Face value: $1000
- Conversion price: $300
- Stock: $250
Binomial approach:
- Up: Stock > $300, convert
- Down: Stock < $300, hold bond
- Value using risk-neutral probabilities
Opciones sobre acciones para empleados:
Tech startup ESO:
- Strike: $10
- Current: $8
- IPO scenarios: $20 or $5
Binomial valuation:
- Up: $20 → Exercise for $10 profit
- Down: $5 → Expire worthless
- Risk-neutral value determines grant size
Errores comunes y consejos para los exámenes
Errores comunes que se deben evitar
-
Usando probabilidades reales
- Neutral al riesgo ≠ probabilidades reales
- No necesita expectativas de los inversores.
- Centrarse en precios sin arbitraje
-
Signo de índice de cobertura incorrecto
- Calls: Ratio de cobertura positivo
- Put: ratio de cobertura negativo
- Verificar la construcción de la cartera.
-
Olvidar el valor presente
- Siempre descuento a tasa libre de riesgo.
- Un período = un descuento
- Compuestos multiperíodo
-
Confusión de volatilidad
- Volatilidad = diferencial entre arriba/abajo
- No es el retorno esperado
- Spread más amplio = valor de opción más alto
Consejos de estrategia para el examen1. Comprobaciones rápidas:
- π debe estar entre 0 y 1
- Si no, marque Ru > 1+r > Rd
- Ratio de cobertura ≤ 1 para llamadas
-
Secuencia de cálculo:
- Empiece siempre con pagos
- Entonces el índice de cobertura o el problema neutral al riesgo
- Finalmente, valor de la opción.
-
Ayuda para la memoria:
- Riesgo neutral: “sándwich 1+r” entre Ru y Rd
- Ratio de cobertura: “Diferencial de rentabilidad sobre diferencial de precios”
- Valor: “Recompensa esperada descontada”
Conclusiones clave
Debe recordar:
- El modelo de dos estados simplifica el precio de las opciones
- El índice de cobertura crea una cartera libre de riesgos
- Probabilidad neutral al riesgo de no arbitraje
- Probabilidades reales irrelevantes para la fijación de precios
- La volatilidad impulsa el valor de la opción
Ideas críticas:
- Fundación para modelos avanzados (Black-Scholes)
- Cobertura perfecta posible en tiempo discreto
- Las preferencias de riesgo no afectan el valor razonable.
- Se extiende a árboles de varios períodos.
- Los protocolos DeFi implementan una lógica similar
Referencias cruzadas y recursos adicionales
Temas relacionados:
- Tema 8: Componentes del valor de la opción
- Tema 9: Relaciones de paridad de compra y venta
- Métodos Cuantitativos: Árboles de probabilidad
- Renta Fija: Valoración de opciones integradas
Lecturas clave:
- Cox, Ross, Rubinstein (1979): “Precio de opciones: un enfoque simplificado”
- Casco: Opciones, Futuros y Otros Derivados Cap. 13
- Shreve: Cálculo estocástico para finanzas I (modelo binomial)
Recursos de práctica:
- Calculadoras de precios de opciones con árboles binomiales.
- Plantillas de precios de opciones binomiales en Excel
- Bibliotecas de Python: QuantLib, py_vollib
Protocolos DeFi para estudiar:
- Lyra: Opciones AMM usando superficie de volatilidad
- Uniswap v3: Liquidez concentrada como opciones
- Squeeth (Opyn): Poderes perpetuos
- Panóptico: Opciones en Uniswap v3
- Polinomio: Productos estructurados con lógica binomial
Revisar la lista de verificación
Comprensión conceptual
- ¿Puedes explicar la estructura del modelo binomial?
- ¿Entiendes los precios neutrales al riesgo?
- ¿Puede describir la construcción de la cartera de cobertura?
- ¿Sabes por qué las probabilidades reales no importan?
Cálculos
- ¿Puedes calcular los ratios de cobertura?
- ¿Puedes determinar probabilidades neutrales al riesgo?
- ¿Puedes valorar opciones de compra y venta?
- ¿Puedes identificar oportunidades de arbitraje?
Aplicaciones
- ¿Se puede ampliar a modelos de períodos múltiples?
- ¿Entiendes las implementaciones de DeFi?
- ¿Se puede postular a opciones reales?
- ¿Te identificas con la creación de mercado?
Preparación para el examen
- Fórmulas clave memorizadas
- Secuencia de cálculo practicada
- Principio de no arbitraje revisado
- Problemas de práctica completados
Integración DeFi- [ ] Comprender las posiciones del rango AMM
- Conoce la mecánica del protocolo de opciones.
- Puede explicar la liquidación como opciones
- Familiarizado con implementaciones en cadena