Riesgo y rentabilidad de la cartera - Parte I
Cobertura de objetivos de aprendizaje
OA1: Describa las características de las principales clases de activos que los inversores consideran al formar carteras
Concepto central
Las clases de activos son categorías amplias de inversiones con características similares, perfiles de riesgo-rendimiento y correlaciones que se comportan de manera similar en diversas condiciones de mercado y están sujetas a las mismas regulaciones y tratamiento fiscal. Comprender las características de las clases de activos permite tomar decisiones adecuadas construcción de cartera, gestión de riesgos y asignación de activos estratégicas que se alinean con los objetivos y limitaciones de los inversores.
Las características clave que diferencian las clases de activos incluyen niveles de rendimiento esperados, perfiles de riesgo (volatilidad), patrones de correlación, características de liquidez, potencial de generación de ingresos, protección contra la inflación, tratamiento regulatorio e implicaciones fiscales. Estas propiedades forman los componentes básicos de la frontera eficiente e informan cada paso del proceso de gestión de cartera.
Matriz de desempeño de clases de activos (1926-2017)
Asset Class | Annual Return | Std Dev | Sharpe Ratio | Max Drawdown
--------------------------|---------------|---------|--------------|-------------
Small-Cap Stocks | 12.1% | 31.7% | 0.28 | -58%
Large-Cap Stocks | 10.2% | 19.8% | 0.36 | -51%
Long-term Corp Bonds | 6.1% | 8.3% | 0.32 | -19%
Long-term Gov Bonds | 5.5% | 9.9% | 0.21 | -21%
Treasury Bills | 3.4% | 3.1% | 0.00 | 0%
Inflation (CPI) | 2.9% | 4.0% | N/A | N/A
Análisis profundo de las características de las clases de activos
-
Acciones (acciones):
- Capital appreciation primary return source
- Dividend income secondary
- Ownership claim on residual cash flows
- Limited liability for shareholders
- Voting rights and control
- Higher volatility compensated by equity risk premium
- Long-term inflation hedge
- Tax advantages (qualified dividends, capital gains)
-
Renta Fija (Bonos):
- Contractual cash flows (coupons + principal)
- Senior claim to equity in bankruptcy
- Interest rate sensitivity (duration risk)
- Credit risk varies by issuer
- Predictable income stream
- Portfolio stabilizer/diversifier
- Nominal vs real return considerations
-
Mercado monetario/Equivalentes de efectivo:
- Capital preservation focus
- High liquidity, low volatility
- Minimal credit risk (government backing)
- Returns approximate risk-free rate
- Negative real returns possible
- Safe haven during crises
-
Activos alternativos:
- Real estate: Income + appreciation, inflation hedge
- Commodities: Inflation protection, low correlation
- Private equity: Illiquidity premium, J-curve
- Hedge funds: Absolute return focus
- Digital assets: High volatility, 24/7 markets
Fórmulas formula
Real Return = (1 + Nominal Return) / (1 + Inflation) - 1
Equity Risk Premium = E(R_equity) - R_f
Ejemplos prácticos
- Rendimiento histórico de la cartera 60/40:
- 60% acciones, 40% asignación de bonos
- Rentabilidad anual: ~8,7%
- Desviación estándar: ~11,5%
- Peor año: -26,6% (1931)
- Mejor año: +36,7% (1933)
Aplicación DeFi defi-application
DeFi introduce una taxonomía de clases de activos paralela que se relaciona claramente con las categorías tradicionales. Los tokens de primera línea, como BTC y ETH, funcionan como equivalentes digitales de oro y petróleo, lo que proporciona la exposición al riesgo principal en una cartera de criptomonedas. Las monedas estables como USDC y DAI sirven como equivalente de efectivo, mientras que los tokens de gobernanza (UNI, AAVE) ofrecen una exposición similar a la de las acciones a los ingresos y el crecimiento del protocolo. Los tokens LP de plataformas como Uniswap y Curve generan ingresos por comisiones de manera análoga a los instrumentos de renta fija, y los activos apostados como stETH proporcionan una exposición alternativa que genera rendimiento.
Los beneficios de correlación de agregar criptomonedas a una cartera tradicional son significativos: históricamente, las criptomonedas han mostrado una baja correlación con las acciones y los bonos (normalmente 0,1-0,3), lo que las convierte en un diversificador significativo. Sin embargo, las correlaciones tienden a aumentar durante las tensiones del mercado, un patrón que se explora más a fondo en gestión de riesgos.
OA2: Explicar la aversión al riesgo y sus implicaciones para la selección de cartera
Concepto centralLa aversión al riesgo es la característica de preferir un resultado determinado a uno incierto con el mismo valor esperado, exigiendo una compensación (una prima de riesgo) para aceptar una incertidumbre adicional. Este concepto es fundamental para todas las finanzas: impulsa el precio de los activos, determina las asignaciones de cartera apropiadas y explica por qué los activos de riesgo deben ofrecer rendimientos esperados más altos para atraer inversores. La existencia de una relación entre riesgo y rendimiento, el valor de la diversificación y la pendiente ascendente de las curvas de indiferencia se derivan del supuesto de aversión al riesgo. Las funciones de utilidad individuales varían considerablemente, razón por la cual evaluar la voluntad y la capacidad para asumir riesgos es tan crítico en la práctica. risk-return
Marco de funciones de utilidad formula exam-focus
Utility Function: U = E(r) - ½Aσ²
Where:
- U = Utility value
- E(r) = Expected return
- A = Risk aversion coefficient
- σ² = Variance of returns
Risk Aversion Categories:
- A > 0: Risk averse (most investors)
- A = 0: Risk neutral
- A < 0: Risk seeking
Interpretación del coeficiente de aversión al riesgo
A Value | Investor Type | Portfolio Implication
--------|---------------------|------------------------
0.5 | Low risk aversion | 80-100% stocks typical
2.0 | Moderate | 60-70% stocks typical
4.0 | High risk aversion | 30-40% stocks typical
8.0 | Very high | 10-20% stocks typical
Ejemplos de cálculo de servicios públicos
Investment A: E(r) = 10%, σ = 20%
Investment B: E(r) = 8%, σ = 12%
For investor with A = 3:
U(A) = 0.10 - 0.5(3)(0.20)² = 0.04 = 4%
U(B) = 0.08 - 0.5(3)(0.12)² = 0.058 = 5.8%
Decision: Choose Investment B (higher utility)
Propiedades de la curva de indiferencia
- Pendiente ascendente: un mayor riesgo requiere una mayor rentabilidad
- Convexo: Tasa marginal de sustitución creciente
- Sin intersección: Transitividad de preferencias
- Se prefieren curvas más altas: más utilidad
- Más pronunciado para tener mayor aversión al riesgo: se requiere una mayor compensación
Ejemplos prácticos
-
Decisión de compra de seguro:
- Pérdida esperada: $1,000 con 1% de probabilidad
- Valor esperado: -$10
- Prima de seguro: $15
- Elección con aversión al riesgo: comprar un seguro a pesar del valor esperado negativo
-
Asignación de cartera por edad:
Age 25: A ≈ 1.5 → 80% stocks, 20% bonds Age 45: A ≈ 3.0 → 60% stocks, 40% bonds Age 65: A ≈ 5.0 → 40% stocks, 60% bonds
Aplicación DeFi defi-application
La aversión al riesgo se manifiesta claramente en el espectro de rendimiento de DeFi. Los usuarios conservadores gravitan hacia los préstamos de monedas estables en protocolos auditados como Aave o Compound (8-12% APY), aceptando rendimientos modestos a cambio de una pérdida transitoria mínima y una exposición a contratos inteligentes. Los inversores moderados pueden optar por estrategias de participación de primera línea, como la participación en ETH a través de Lido (5-15 % APY), mientras que los participantes agresivos adoptan la provisión de liquidez en pares volátiles (20—100 % APY). Los usuarios que buscan más riesgos se dedican a la agricultura de rendimiento apalancada con APY de tres dígitos, aceptando el riesgo de liquidación y el fracaso del protocolo como el precio de rendimientos descomunales.
La prima de riesgo de DeFi (el diferencial entre los rendimientos de DeFi y sus equivalentes de TradFi) refleja la compensación del mercado por riesgos novedosos que los activos tradicionales no conllevan: formula
Protocol Risk Premium = DeFi Yield - TradFi Equivalent
Smart Contract Premium: 3-5%
Liquidity Risk Premium: 2-4%
Regulatory Risk Premium: 1-3%
Total DeFi Premium: 6-12% over TradFi
Comprender esta estructura de primas se conecta directamente con el marco CAPM y la cuestión más amplia de si los rendimientos de DeFi representan un alfa genuino o una compensación justa para los factores de riesgo identificables.
OA3: Explicar la selección de una cartera óptima, dada la utilidad (o aversión al riesgo) de un inversor y la línea de asignación de capital
Concepto central exam-focusLa cartera óptima es la combinación de activos riesgosos y libres de riesgo que maximiza la utilidad de un inversor, que se encuentra en el punto de tangencia entre la curva de indiferencia más alta alcanzable del inversor y la línea de asignación de capital (CAL). Esto determina la asignación exacta entre activos seguros y riesgosos que mejor satisface las preferencias de riesgo-rendimiento de un inversor, proporcionando un marco cuantitativo para la [[Topic-4-Basics-of-Portfolio-Planning-and-Construction|construcción de cartera] personalizada.
La idea clave es el teorema de separación de dos fondos: todos los inversores tienen la misma cartera de riesgo óptima (la cartera de tangencia), y sólo difieren en cuánto le asignan frente al activo libre de riesgo. La aversión al riesgo determina esa división. El CAL representa el conjunto factible de combinaciones riesgo-retorno y el punto de tangencia maximiza la utilidad. Este marco se extiende directamente a la Capital Market Line cuando la cartera de mercado sirve como activo de riesgo.
Línea de asignación de capital (CAL) formula exam-focus
CAL Equation: E(Rp) = Rf + [(E(Ri) - Rf)/σi] × σp
Where:
- E(Rp) = Expected portfolio return
- Rf = Risk-free rate
- E(Ri) = Expected return of risky portfolio
- σi = Standard deviation of risky portfolio
- σp = Portfolio standard deviation
Slope (Sharpe Ratio) = [E(Ri) - Rf]/σi
Fórmula de asignación óptima
Optimal weight in risky asset:
w* = [E(Ri) - Rf] / (A × σi²)
Where:
- w* = Optimal weight in risky portfolio
- A = Risk aversion coefficient
- Other variables as defined above
Ejemplo numérico
Given:
- Risk-free rate: 3%
- Risky portfolio return: 12%
- Risky portfolio std dev: 20%
- Investor A = 4
Calculation:
w* = (0.12 - 0.03) / (4 × 0.20²)
w* = 0.09 / 0.16 = 0.5625 = 56.25%
Optimal allocation:
- 56.25% in risky portfolio
- 43.75% in risk-free asset
Expected return: 3% + 0.5625(12% - 3%) = 8.06%
Portfolio std dev: 0.5625 × 20% = 11.25%
Pasos de cálculo de HP 12C
Finding optimal allocation:
0.12 [ENTER] 0.03 [-] → 0.09 (risk premium)
0.20 [ENTER] [×] → 0.04 (variance)
4 [×] → 0.16 (A × variance)
0.09 [x><y] [÷] → 0.5625 (optimal weight)
Carteras apalancadas
If w* > 1.0 (borrowing at risk-free rate):
Example with A = 1:
w* = 0.09 / (1 × 0.04) = 2.25
Interpretation:
- Borrow 125% of capital at 3%
- Invest 225% in risky portfolio
- Expected return: 3% + 2.25(9%) = 23.25%
- Portfolio risk: 2.25 × 20% = 45%
Ejemplos prácticos
-
Inversor Conservador (A = 6):
w* = 0.09 / (6 × 0.04) = 37.5% Portfolio: 37.5% stocks, 62.5% T-bills E(R) = 6.375%, σ = 7.5% -
Inversor moderado (A = 3):
w* = 0.09 / (3 × 0.04) = 75% Portfolio: 75% stocks, 25% T-bills E(R) = 9.75%, σ = 15%
Aplicación DeFi defi-application
El marco CAL se traduce naturalmente en DeFi. Una posición de préstamo de moneda estable en Aave (3-5% APY) sirve como proxy libre de riesgo, mientras que una posición LP volátil como ETH-USDC en Uniswap (20% APY, 30% volatilidad) representa la cartera de riesgo. El índice de Sharpe resultante de aproximadamente 0,53 define la pendiente de la CAL de DeFi, y la aversión al riesgo del inversor determina la división. Los agregadores de rendimiento como Yearn Finance automatizan eficazmente esta decisión de asignación, transfiriendo capital a lo largo de la CAL DeFi para optimizar los rendimientos ajustados al riesgo.
Conservative DeFi user (A = 4):
w* = 0.16 / (4 × 0.09) = 44%
44% in LP, 56% in stablecoin lending
OA4: Calcular e interpretar la media, la varianza y la covarianza (o correlación) de los rendimientos de los activos basándose en datos históricos
Concepto central
Estas medidas estadísticas (media, varianza, covarianza y correlación) cuantifican la tendencia central, la dispersión y el co-movimiento de los rendimientos de los activos. Constituyen los insumos esenciales para la optimización de la cartera y la evaluación de riesgos. La media representa el rendimiento esperado, la varianza mide el riesgo total, la covarianza indica movimiento conjunto y la correlación estandariza la covarianza en una escala de -1 a +1. Los fundamentos matemáticos aquí se basan directamente en herramientas de Métodos cuantitativos, incluidas distribuciones de probabilidad, estadísticas descriptivas y análisis de regresión.
Fórmulas y cálculos formula exam-focus
Sample Mean Return:
R̄ = ΣRt / n
Sample Variance:
s² = Σ(Rt - R̄)² / (n - 1)
Sample Standard Deviation:
s = √s²
Sample Covariance:
Cov(A,B) = Σ[(RA,t - R̄A)(RB,t - R̄B)] / (n - 1)
Correlation Coefficient:
ρA,B = Cov(A,B) / (σA × σB)
Ejemplo de cálculo con datos históricos
Asset A Returns: 10%, 15%, -5%, 20%, 10%
Asset B Returns: 8%, 12%, -2%, 15%, 7%
Step 1: Calculate means
R̄A = (10 + 15 - 5 + 20 + 10) / 5 = 10%
R̄B = (8 + 12 - 2 + 15 + 7) / 5 = 8%
Step 2: Calculate variances
s²A = [(0)² + (5)² + (-15)² + (10)² + (0)²] / 4 = 87.5
sA = 9.35%
s²B = [(0)² + (4)² + (-10)² + (7)² + (-1)²] / 4 = 41.5
sB = 6.44%
Step 3: Calculate covariance
Cov = [(0)(0) + (5)(4) + (-15)(-10) + (10)(7) + (0)(-1)] / 4
Cov = 60
Step 4: Calculate correlation
ρ = 60 / (9.35 × 6.44) = 0.996
Funciones estadísticas del HP 12C
Entering paired data:
10 [ENTER] 8 [Σ+]
15 [ENTER] 12 [Σ+]
-5 [ENTER] -2 [Σ+]
20 [ENTER] 15 [Σ+]
10 [ENTER] 7 [Σ+]
Retrieving statistics:
[g] [x̄] → 10 (mean of x)
[x><y] [g] [x̄] → 8 (mean of y)
[g] [s] → 9.35 (std dev of x)
Anualización de rentabilidad y volatilidad
From monthly to annual:
Annual return = (1 + monthly)¹² - 1
Annual volatility = monthly × √12
From daily to annual:
Annual return = (1 + daily)²⁵² - 1
Annual volatility = daily × √252
Ejemplos prácticos- Análisis de correlación de acciones tecnológicas:
AAPL-MSFT correlation: 0.75
AAPL-TSLA correlation: 0.45
MSFT-GOOGL correlation: 0.82
Interpretation: High correlation within sector
Diversification benefit: Limited
- Correlaciones de clases de activos (2010-2020):
Stocks Bonds Gold Bitcoin Stocks 1.00 -0.15 0.05 0.12 Bonds -0.15 1.00 0.25 -0.02 Gold 0.05 0.25 1.00 0.08 Bitcoin 0.12 -0.02 0.08 1.00
Aplicación DeFi defi-application
La estructura de correlación entre los activos DeFi es un insumo fundamental para la construcción de carteras en cadena. Los tokens de gobernanza de DeFi tienden a estar altamente correlacionados con ETH (0,85), lo que los convierte en malos diversificadores entre sí. BTC proporciona una diversificación moderada (0,65 con ETH), mientras que las monedas estables ofrecen correlaciones cercanas a cero o ligeramente negativas, y sirven como la principal herramienta de reducción de riesgos en las carteras de criptomonedas.
ETH BTC DeFi Stables
ETH 1.00 0.65 0.85 -0.05
BTC 0.65 1.00 0.55 0.02
DeFi 0.85 0.55 1.00 -0.10
Stables -0.05 0.02 -0.10 1.00
Para los proveedores de liquidez, la pérdida impermanente (IL) introduce un componente de variación único que no está presente en las carteras tradicionales. La fórmula IL es esencial para cualquier análisis de riesgo DeFi: formula
IL = 2√(price_ratio) / (1 + price_ratio) - 1
If ETH doubles vs USDC:
IL = 2√2 / 3 - 1 = -5.7%
Este riesgo es específico de los creadores de mercado automatizados y no tiene un equivalente financiero tradicional directo, lo que lo convierte en una adición nativa de DeFi a los cálculos de variación de la cartera.
OA5: Calcular e interpretar la desviación estándar de la cartera
Concepto central exam-focus
La desviación estándar de la cartera mide el riesgo total de una cartera, teniendo en cuenta las volatilidades de los activos individuales y sus correlaciones. La idea crucial es que el riesgo de cartera no es simplemente el promedio ponderado de los riesgos individuales: los efectos de correlación significan que la combinación de activos con una correlación imperfecta reduce el riesgo por debajo de lo que predeciría un cálculo ingenuo. Éste es el corazón matemático de la diversificación, el único “almuerzo gratis” en las finanzas. Cuando la correlación es igual a -1, en teoría el riesgo puede eliminarse por completo; cuando es igual a +1, no hay ningún beneficio de diversificación. Estas relaciones se cuantifican mediante las fórmulas siguientes y se prueban exhaustivamente en el examen de finanzas.
Fórmulas de cartera de dos activos formula exam-focus
Portfolio Variance:
σp² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρ₁₂σ₁σ₂
Portfolio Standard Deviation:
σp = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρ₁₂σ₁σ₂)
Special Cases:
- Perfect correlation (ρ = 1): σp = |w₁σ₁ + w₂σ₂|
- Zero correlation (ρ = 0): σp = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂²)
- Perfect negative (ρ = -1): σp = |w₁σ₁ - w₂σ₂|
Fórmula de cartera de activos múltiples
General formula:
σp² = ΣΣ wᵢwⱼCov(i,j)
Matrix notation:
σp² = w'Σw
Where:
w = weight vector
Σ = covariance matrix
Ejemplos de cálculo
Example 1: Two-asset portfolio
Asset A: 30% weight, 20% std dev
Asset B: 70% weight, 15% std dev
Correlation: 0.4
σp² = (0.3)²(0.2)² + (0.7)²(0.15)² + 2(0.3)(0.7)(0.4)(0.2)(0.15)
σp² = 0.0036 + 0.0110 + 0.0050 = 0.0196
σp = 14%
Diversification benefit:
Weighted avg = 0.3(20%) + 0.7(15%) = 16.5%
Actual = 14%
Benefit = 2.5% risk reduction
Pasos de cálculo de HP 12C
Two-asset portfolio risk:
0.3 [ENTER] [x²] 0.04 [×] → 0.0036
0.7 [ENTER] [x²] 0.0225 [×] → 0.0110
[+] → 0.0146
2 [ENTER] 0.3 [×] 0.7 [×] → 0.42
0.4 [×] 0.2 [×] 0.15 [×] → 0.0050
[+] → 0.0196
[√] → 0.14
Riesgo de cartera con diferentes correlaciones
Same assets as above, varying correlation:
ρ = +1.0: σp = 16.5% (no benefit)
ρ = +0.5: σp = 14.4%
ρ = 0.0: σp = 11.6%
ρ = -0.5: σp = 7.9%
ρ = -1.0: σp = 3.0% (maximum benefit)
Ejemplos prácticos
-
Riesgo de cartera 60/40:
Stocks: 60% weight, 20% volatility Bonds: 40% weight, 8% volatility Correlation: 0.1 σp = √[(0.6)²(0.2)² + (0.4)²(0.08)² + 2(0.6)(0.4)(0.1)(0.2)(0.08)] σp = √[0.0144 + 0.0010 + 0.0008] = 12.7% -
Cartera igualmente ponderada (n activos):
As n → ∞: σp² → average covariance Implication: Correlation matters more than individual volatility
Aplicación DeFi defi-application
La aplicación de la fórmula de desviación estándar de la cartera a una asignación típica de DeFi revela los beneficios de la diversificación de las monedas estables. Incluso una asignación de moneda estable del 30% reduce significativamente la volatilidad general de la cartera debido a la correlación casi nula con las principales criptomonedas:
ETH: 40% weight, 80% volatility
BTC: 30% weight, 60% volatility
Stables: 30% weight, 1% volatility
Correlations:
ETH-BTC: 0.7, ETH-Stable: 0, BTC-Stable: 0
Portfolio volatility ≈ 42%
Para los participantes del fondo de liquidez, el cálculo del riesgo también debe incorporar la pérdida no permanente además de la variación estándar de la cartera. Esto hace que las posiciones LP sean más riesgosas que una simple cartera de tokens subyacentes, una distinción que estrategias de modificación de riesgo como los rangos de liquidez concentrada y la cobertura IL pretenden abordar:
50/50 ETH-USDC pool
ETH volatility: 80%
USDC volatility: 1%
Correlation: ~0
Pool volatility ≈ 40%
Plus impermanent loss risk
OA6: Describa el efecto sobre el riesgo de una cartera de invertir en activos que no están perfectamente correlacionados
Concepto central exam-focusCuando los activos tienen una correlación inferior a +1, combinarlos en una cartera reduce el riesgo por debajo del promedio ponderado de los riesgos individuales, y se logra el máximo beneficio de diversificación con una correlación negativa. Ésta es la base matemática de la diversificación -el único “almuerzo gratis” en finanzas- que permite a los inversores reducir el riesgo sin sacrificar el rendimiento esperado. La reducción del riesgo aumenta a medida que la correlación disminuye, pero los beneficios marginales de agregar activos más allá de unas 20 o 30 tenencias disminuyen. Es importante destacar que el riesgo sistemático no se puede diversificar independientemente del tamaño de la cartera, una distinción que conecta este tema directamente con beta y el CAPM.
Diversificación Matemáticas
Risk Reduction Formula:
Risk Reduction = Weighted Avg Risk - Portfolio Risk
Diversification Ratio:
DR = Portfolio Risk / Weighted Average Risk
Perfect Diversification (ρ = -1):
Can achieve σp = 0 with proper weights
w₁ = σ₂/(σ₁ + σ₂)
Análisis de impacto de correlación
Two assets: A (25% risk), B (15% risk), Equal weights
ρ = +1.0: σp = 20.0% (no diversification)
ρ = +0.5: σp = 17.5% (12.5% reduction)
ρ = 0.0: σp = 15.0% (25% reduction)
ρ = -0.5: σp = 11.2% (44% reduction)
ρ = -1.0: σp = 5.0% (75% reduction)
Número de activos y riesgo
Equal-weight portfolio formula:
σp² = (1/n)σ² + ((n-1)/n)Cov
As n → ∞:
σp² → Average Covariance
Example with σ = 30%, Cov = 150:
n = 1: σp = 30%
n = 2: σp = 22.4%
n = 5: σp = 17.3%
n = 10: σp = 14.7%
n = 30: σp = 13.0%
n = ∞: σp = 12.2% (systematic risk)
Ejemplos prácticos de diversificación
Portfolio Evolution:
1 stock: σ = 35%
5 stocks: σ = 25%
20 stocks: σ = 20%
100 stocks: σ = 18%
Market index: σ = 16%
Marginal benefit decreases
80% of benefit with 20-30 stocks
Estrategia de diversificación eficiente
Correlation Matrix Optimization:
Industry Diversification:
Tech-Tech: ρ = 0.7
Tech-Healthcare: ρ = 0.3
Tech-Utilities: ρ = 0.1
Geographic Diversification:
US-US: ρ = 0.85
US-Europe: ρ = 0.65
US-Emerging: ρ = 0.45
Ejemplo del mundo real
-
Correlaciones de la crisis financiera de 2008:
Normal market: Stock-Bond ρ = -0.2 Crisis period: Stock-Bond ρ = +0.4 Lesson: Correlations increase in crisis Diversification fails when needed most -
Pandemia de COVID-19 (marzo de 2020):
All assets fell together initially Then divergence: Tech stocks: +80% (2020) Airlines: -50% Gold: +25% Bitcoin: +300%
Aplicación DeFi defi-application
El argumento de correlación para agregar criptomonedas a una cartera tradicional es convincente. Con correlaciones BTC-Acciones de alrededor de 0,2 y correlaciones BTC-Bonos cercanas a cero, incluso una modesta asignación de Bitcoin del 5% puede reducir el riesgo general de la cartera en aproximadamente un 15%.
Traditional Portfolio:
Stocks-Bonds: ρ = -0.1 to 0.2
Adding 5% Bitcoin:
BTC-Stocks: ρ = 0.2
BTC-Bonds: ρ = 0.0
Result: 15% risk reduction for portfolio
Dentro del propio DeFi, la diversificación de protocolos sigue la misma lógica. Distribuir la exposición entre cinco protocolos igualmente ponderados reduce drásticamente el riesgo de contratos inteligentes y el riesgo de gobernanza, los equivalentes DeFi del riesgo no sistemático. Sin embargo, el riesgo sistemático de DeFi (medidas enérgicas regulatorias, fallas de la red Ethereum, desvinculación de las monedas estables) no se puede diversificar, lo que refleja la distinción riesgo sistemático versus no sistemático de las finanzas tradicionales.
Single protocol risk: 100% exposure
5 protocols equal weight:
- Smart contract risk: Reduced 80%
- Governance risk: Reduced 60%
- Systematic DeFi risk: Not reduced
RA7: Describir e interpretar las fronteras de mínima varianza y eficiencia de los activos riesgosos y la cartera global de mínima varianza
Concepto central exam-focus asset-allocation
La frontera de varianza mínima representa todas las carteras con el menor riesgo posible para cada nivel de rendimiento. La frontera eficiente es la parte superior y ofrece el mayor rendimiento para cada nivel de riesgo, mientras que la cartera global de varianza mínima (GMV) se encuentra en el punto más a la izquierda. Estos conceptos identifican el conjunto de carteras óptimas que los inversores racionales deberían considerar, eliminando las carteras dominadas y proporcionando la base para la teoría moderna de carteras de Markowitz.
El conjunto de oportunidades de inversión abarca todas las combinaciones posibles de cartera. La frontera de varianza mínima traza el límite hacia la izquierda, y sólo la porción por encima de la cartera GMV es eficiente; por debajo de ella, las carteras están dominadas (mismo riesgo, menor rendimiento). Cuando se introduce un activo libre de riesgo, la frontera eficiente se transforma en la Línea del mercado de capitales, y la cartera tangencial se convierte en la única cartera de riesgo óptima para todos los inversores.#### Marco matemático
Minimum-Variance Optimization:
Minimize: σp² = w'Σw
Subject to: w'μ = target return
w'1 = 1 (weights sum to 1)
Global Minimum-Variance Portfolio:
Weights: w = Σ⁻¹1 / (1'Σ⁻¹1)
No return constraint, only minimize risk
Construcción de frontera de dos activos
Given: Asset A (15% return, 25% risk)
Asset B (10% return, 18% risk)
Correlation: 0.3
GMV Portfolio weights:
wA = (σB² - ρσAσB)/(σA² + σB² - 2ρσAσB)
wA = 23.7%, wB = 76.3%
GMV characteristics:
Return: 11.2%
Risk: 15.8%
Propiedades fronterizas
1. Hyperbolic shape in σ-return space
2. Parabolic in σ²-return space
3. All portfolios between two assets lie on curve
4. Adding assets expands frontier leftward
5. Cannot go below GMV risk level
Porciones eficientes versus ineficientes
Efficient Frontier:
- Above GMV portfolio
- Upward sloping
- Higher return for given risk
- Rational investor choice set
Inefficient Frontier:
- Below GMV portfolio
- Backward bending
- Lower return for given risk
- Dominated portfolios
Ejemplo de tres activos
Assets: A (20%, 30%), B (15%, 20%), C (10%, 15%)
Correlations: ρAB = 0.3, ρAC = 0.1, ρBC = 0.2
GMV Portfolio:
wA = 15%, wB = 35%, wC = 50%
Return: 13.25%
Risk: 13.8%
Maximum Return Portfolio:
100% in Asset A
Return: 20%, Risk: 30%
Pasos de construcción de HP 12C
For each weight combination:
1. Calculate portfolio return (weighted average)
2. Calculate portfolio variance (using formula)
3. Calculate portfolio std dev (square root)
4. Plot return vs risk
5. Identify envelope (frontier)
Ejemplos prácticos
-
Frontera de Diversificación Internacional:
US only: Limited frontier Add International: Frontier shifts left Add Emerging Markets: Further shift Add Alternative Assets: Maximum expansion Risk reduction: Up to 30% at same return -
Frontera eficiente entre acciones y bonos:
100% Bonds: 5% return, 8% risk 60/40: 8% return, 12% risk 100% Stocks: 10% return, 20% risk GMV: 25% stocks, 75% bonds Return: 6.3%, Risk: 7.2%
Aplicación DeFi defi-application
El concepto de frontera eficiente se aplica directamente a la construcción de carteras DeFi. Con préstamos de monedas estables, apuestas de ETH, posiciones de LP y estrategias de cultivo de rendimiento disponibles en diferentes perfiles de riesgo-retorno, un inversor puede trazar una frontera eficiente de DeFi tal como Markowitz imaginó para los activos tradicionales. Protocolos como Yearn Finance intentan automatizar esta optimización, trasladando capital hacia la frontera mediante un reequilibrio dinámico entre fuentes de rendimiento.
Assets Available:
- Stablecoin lending: 8% return, 2% risk
- ETH staking: 5% return, 60% risk
- LP positions: 30% return, 40% risk
- Yield farming: 100% return, 90% risk
Efficient portfolios:
Conservative: 80% stable, 20% LP
Moderate: 40% stable, 30% ETH, 30% LP
Aggressive: 20% stable, 40% LP, 40% farm
La diversificación entre protocolos y cadenas expande la frontera hacia la izquierda, reduciendo el riesgo específico del protocolo y manteniendo las expectativas de rendimiento. Esto refleja cómo agregar inversiones alternativas o acciones internacionales expande la tradicional frontera eficiente.
Single protocol: High specific risk
Multi-protocol: Improved frontier
Cross-chain: Further improvement
Frontier expansion from diversification
Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)
Conocimientos esenciales (20% que explica el 80%)
-
Compensación riesgo-rentabilidad:
- Mayores rendimientos requieren mayor riesgo
- No hay almuerzo gratis excepto diversificación.
- La aversión al riesgo impulsa los precios
-
Fórmula de riesgo de cartera:
- σp² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρσ₁σ₂
- La correlación < 1 reduce el riesgo
- La diversificación es matemática.
-
Frontera Eficiente:
- Conjunto de cartera óptimo
- Máximo rendimiento por riesgo dado
- Restricción racional del inversor
-
Línea de Asignación de Capital:
- Cartera libre de riesgo + arriesgada
- Tangencia = cartera de riesgo óptima
- La asignación personal varía según la aversión al riesgo.
-
Función de utilidad:
- U = E(r) - ½Aσ²
- A determines risk tolerance
- Maximization drives decisions
Relaciones críticas
- Correlación y Riesgo: Menor correlación → Mayor beneficio de diversificación
- Número de activos: beneficio marginal decreciente después de 20-30 activos
- Aversión al riesgo: Mayor A → Menor asignación a activos de riesgo
- Sistemático versus específico: la diversificación elimina únicamente el riesgo específico
Hoja de fórmula completa
Cálculos de retorno
Arithmetic Mean: R̄ = ΣRt/n
Geometric Mean: RG = [(1+R₁)(1+R₂)...(1+Rn)]^(1/n) - 1
Real Return: Rreal = (1+Rnom)/(1+π) - 1
Risk Premium: RP = E(R) - Rf
Medidas de riesgo
Variance: σ² = Σ(Rt - R̄)²/(n-1)
Standard Deviation: σ = √σ²
Covariance: Cov(i,j) = Σ[(Ri,t - R̄i)(Rj,t - R̄j)]/(n-1)
Correlation: ρij = Cov(i,j)/(σi × σj)
Fórmulas de cartera
Portfolio Return: Rp = Σwi × Ri
Portfolio Variance: σp² = ΣΣwiwjCov(i,j)
Two-Asset Variance: σp² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρσ₁σ₂
Optimización
Utility Function: U = E(r) - ½Aσ²
Optimal Weight: w* = [E(R) - Rf]/(A × σ²)
CAL Equation: E(Rp) = Rf + [E(R) - Rf]/σ × σp
Sharpe Ratio: S = [E(R) - Rf]/σ
Casos especiales
Perfect Positive Correlation (ρ = +1):
σp = |w₁σ₁ + w₂σ₂|
Zero Correlation (ρ = 0):
σp = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂²)
Perfect Negative Correlation (ρ = -1):
σp = |w₁σ₁ - w₂σ₂|
Zero risk weights: w₁ = σ₂/(σ₁ + σ₂)
Secuencias de la calculadora HP 12C
Entrada de datos estadísticos
Clear statistics: [f] [REG]
Enter paired data: y [ENTER] x [Σ+]
Mean of y: [g] [x̄]
Mean of x: [x><y] [g] [x̄]
Std dev of y: [g] [s]
Std dev of x: [x><y] [g] [s]
Cálculos de cartera
Two-asset portfolio return:
w₁ [ENTER] R₁ [×] w₂ [ENTER] R₂ [×] [+]
Portfolio variance (ρ = 0):
w₁ [x²] σ₁ [x²] [×] w₂ [x²] σ₂ [x²] [×] [+] [√]
Sharpe ratio:
E(R) [ENTER] Rf [-] σ [÷]
Cálculo de utilidad
Expected return [ENTER]
Risk aversion [ENTER] 2 [÷]
Variance [×] [-]
Asignación óptima
Risk premium [ENTER]
Risk aversion [ENTER]
Variance [×] [÷]
Problemas de práctica
Nivel Básico
-
Rendimiento de la cartera: Una cartera tiene un 40% en el Activo A (rendimiento esperado del 12%) y un 60% en el Activo B (rendimiento esperado del 8%). Calcule el rendimiento esperado de la cartera.2. Aversión al riesgo: Un inversor con A = 3 se enfrenta a la elección entre un activo libre de riesgo que paga el 4% y un activo riesgoso con un rendimiento esperado del 10% y una desviación estándar del 18%. Calcule la utilidad del activo riesgoso.
-
Riesgo de dos activos: Calcule la desviación estándar de la cartera para ponderaciones iguales en dos activos con σ₁ = 20%, σ₂ = 30% y ρ = 0,5.
Nivel Intermedio
-
Asignación óptima: Dado Rf = 3%, cartera riesgosa con E(R) = 11% y σ = 22%, encuentre la asignación óptima para un inversor con A = 4.
-
Impacto de correlación: Dos activos tienen rendimientos del 15% y 10% con desviaciones estándar del 25% y 15% respectivamente. Calcule el riesgo de cartera para ponderaciones 60/40 cuando: a) ρ = 0,8 b) ρ = 0,0 c) ρ = -0,5
-
Comparación de servicios públicos: compare los servicios públicos de dos carteras:
- Portfolio A: E(R) = 12%, σ = 20%
- Portfolio B: E(R) = 9%, σ = 12% For investors with A = 2 and A = 5.
Nivel avanzado
-
Cartera GMV: Encuentre la cartera de variación mínima global para:
- Asset 1: E(R) = 14%, σ = 24%
- Asset 2: E(R) = 8%, σ = 16%
- ρ = 0.2
-
Frontera Eficiente: Determine si el siguiente portafolio se encuentra en la frontera eficiente:
- 30% in Asset A (15% return, 25% risk)
- 70% in Asset B (10% return, 18% risk)
- Correlation = 0.4
-
Cartera multiactivo: Calcule la desviación estándar de una cartera igualmente ponderada de tres activos:
- Riesgos de activos: 20%, 25%, 30%
- Todas las correlaciones por pares = 0,3
Problemas de DeFi
- Construcción de cartera DeFi: Diseñe una cartera eficiente utilizando:
- Stablecoin lending: 8% APY, 2% volatility
- ETH staking: 5% APY, 60% volatility
- Liquidity provision: 25% APY, 35% volatility For an investor with A = 3.
Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real
Aplicaciones financieras tradicionales
-
Asignación del Fondo de Pensiones:
Typical 60/40 portfolio: - 60% global equities - 40% investment-grade bonds - Annual rebalancing - Target return: 7-8% - Target volatility: 10-12% -
Modelo de Dotación:
Yale Model allocation: - 25% private equity - 20% absolute return - 15% real assets - 15% foreign equity - 10% domestic equity - 10% fixed income - 5% cash
Estrategias de cartera DeFi
-
Cartera DeFi conservadora:
- 60% Stablecoin lending (Aave/Compound) - 20% ETH staking - 15% Blue-chip LP (ETH-USDC) - 5% Governance tokens Expected APY: 12-15% Volatility: 15-20% -
Cartera DeFi equilibrada:
- 30% Stablecoin strategies - 30% Major LP positions - 25% Staking (ETH, SOL, AVAX) - 15% Yield farming Expected APY: 25-35% Volatility: 35-45% -
Cartera DeFi agresiva:
- 40% High-APY farms - 30% Leveraged yield - 20% New protocol tokens - 10% Stablecoin buffer Expected APY: 50-100%+ Volatility: 60-80%
Ejemplos de gestión de riesgos
-
Cobertura de pérdidas no permanente:
LP Position: ETH-USDC Hedge: Long ETH perpetual Result: Reduced IL exposure Cost: Funding rate -
Diversificación del riesgo de contratos inteligentes:
Instead of 100% in one protocol: - 25% Aave - 25% Compound - 25% MakerDAO - 25% Curve Risk reduction: 60-75%
Errores comunes y consejos para los exámenes
Errores conceptuales
-
Correlación ≠ Causalidad:
- Alta correlación no implica causa.
- Puede deberse a factores comunes
- Puede ser espurio o temporal
-
Histórico ≠ Futuro:
- Los rendimientos pasados no predicen el futuro.
- Las correlaciones cambian con el tiempo.
- Cambio de regímenes de riesgo
-
Límites de diversificación:
- No se puede eliminar el riesgo sistemático.
- Las correlaciones aumentan en la crisis.
- La excesiva diversificación diluye la rentabilidad
Errores de cálculo
-
Varianza frente a desviación estándar:
- Siempre revisa las unidades
- σ² para varianza, σ para desarrollo estándar
- No olvides la raíz cuadrada
-
Los pesos deben sumar 1:
- Error común en los cálculos.
- Verifique: Σwi = 1
- Incluir todos los activos
-
Rango de correlación:
- Debe estar entre -1 y +1
- No se pueden exceder estos límites
- Verificar errores de cálculo
Estrategia de examen
-
Gestión del tiempo:
- Cálculos básicos: 2-3 minutos
- Problemas complejos: 5-7 minutos
- Saltar y regresar si está atascado
-
Verificación de respuesta:
- Portfolio risk < weighted average (usually)
- Returns make economic sense
- Correlations within bounds
-
Tipos de preguntas comunes:
- Calcular estadísticas de cartera.
- Identificar carteras eficientes
- Determinar las asignaciones óptimas.
- Interpretar los efectos de correlación.
Conclusiones clave
Principios básicos1. La diversificación es el único almuerzo gratis: reduce el riesgo sin sacrificar el rendimiento esperado cuando ρ < 1
- La compensación entre riesgo y rendimiento es fundamental: mayores rendimientos requieren aceptar un mayor riesgo
- La correlación impulsa los beneficios de la diversificación: una correlación más baja proporciona una mayor reducción del riesgo
- La frontera eficiente define las carteras óptimas: los inversores racionales sólo eligen carteras eficientes
- La aversión al riesgo determina la asignación: las funciones de servicios públicos individuales impulsan la elección de cartera
Aplicaciones prácticas
- 20-30 activos proporcionan la mayoría de los beneficios de diversificación: rendimientos decrecientes más allá de esto
- La asignación de activos explica más del 90 % de la variación del rendimiento: más importante que la selección de valores
- El reequilibrio mantiene el riesgo objetivo: el enfoque sistemático tiene mejores resultados
- Las correlaciones son inestables: aumentan durante las tensiones del mercado
- La diversificación global es esencial: reduce el riesgo de sesgo local
Innovaciones DeFi
- Los mercados 24 horas al día, 7 días a la semana permiten un reequilibrio continuo: sin limitaciones de cierre del mercado
- Estrategias automatizadas a través de contratos inteligentes: elimina las emociones/errores humanos
- La componibilidad crea nuevas opciones de diversificación: los legos de dinero amplían la frontera
- Generación de rendimiento más allá de las fuentes tradicionales: Stake, LP, agricultura
- El acceso sin permiso democratiza estrategias sofisticadas: sin mínimos ni restricciones
Referencias cruzadas y recursos adicionales
Temas financieros relacionados
- Riesgo y rentabilidad de cartera Parte II — Teoría del mercado de capitales, CAPM, beta
- Inversiones en acciones — Primas de riesgo, valoración de acciones
- Renta Fija — Duración y riesgo de cartera
- Derivados — Cobertura de cartera
- Inversiones alternativas — Beneficios de correlación, primas de iliquidez
Artículos académicos clave
- Markowitz (1952): “Selección de cartera”
- Sharpe (1964): “Precios de los activos de capital”
- Black-Litterman (1992): “Optimización global de la cartera”
- Fama-French (1993): “Factores de riesgo comunes”
Recursos DeFi
- DeFi Pulse: TVL y métricas de protocolo
- Dune Analytics: análisis de cartera en cadena
- CoinGecko: datos de correlación
- IntoTheBlock: Métricas avanzadas
- Messari: investigación institucional
Consideraciones regulatorias
- Orientación de la SEC sobre activos digitales
- Posición de la CFTC sobre las criptomonedas
- Requisitos de criptoactivos de Basilea III
- Reglamento MiCA (Europa)
- Tratamiento fiscal de los rendimientos de DeFi
Revisar la lista de verificación
Comprensión conceptual
- Puede explicar la aversión al riesgo y las funciones de utilidad.
- Comprender el impacto de la correlación en el riesgo de la cartera
- Conocer la construcción eficiente de fronteras
- Puede identificar carteras óptimas
- Comprender las matemáticas de diversificación
Competencia en cálculo
- Calcular la rentabilidad y el riesgo de la cartera
- Calcular la correlación a partir de datos
- Encuentre asignaciones óptimas dada la utilidad
- Determinar carteras de varianza mínima
- Aplicar marco CAL
Habilidades de aplicación- [ ] Diseñar carteras para diferentes niveles de riesgo.
- Evaluar los beneficios de la diversificación
- Comparar alternativas de cartera
- Aplicar a estrategias DeFi
- Reconocer errores comunes
Preparación para el examen
- Completa todos los problemas de práctica.
- Revisar la hoja de fórmulas
- Practica secuencias HP 12C
- Comprender patrones de preguntas
- Estrategia de gestión del tiempo lista