Riesgo y rentabilidad de la cartera - Parte II

Cobertura de objetivos de aprendizaje

OA1: Describir las implicaciones de combinar un activo libre de riesgo con una cartera de activos riesgosos

Concepto central

La combinación de un activo libre de riesgo con una cartera riesgosa crea una relación lineal riesgo-rentabilidad, lo que permite a los inversores alcanzar cualquier nivel de riesgo deseado mediante el apalancamiento o el desapalancamiento manteniendo al mismo tiempo una eficiencia óptima. Se trata de una visión transformadora: permite separar la decisión de inversión (elegir la cartera de riesgo óptima, explorada en la La frontera eficiente de la Parte I) de la decisión de financiación (determinar la exposición al riesgo). A continuación se presenta el teorema de separación de dos fondos: todos los inversores mantienen combinaciones de la misma cartera de riesgo óptima y el activo libre de riesgo, que difieren sólo en proporciones basadas en su tolerancia al riesgo. risk-return

Marco matemático formula

Combined Portfolio Return:
E(Rc) = wf × Rf + (1 - wf) × E(Rp)
     = Rf + (1 - wf)[E(Rp) - Rf]

Combined Portfolio Risk:
σc = (1 - wf) × σp
   = |1 - wf| × σp (for leverage)

Where:
wf = weight in risk-free asset
1 - wf = weight in risky portfolio

Escenarios de préstamo versus endeudamiento

Lending (wf > 0):
- Reduces risk and return
- 0 < wf < 1
- Example: 40% T-bills, 60% stocks

Borrowing (wf < 0):
- Increases risk and return
- wf < 0, (1 - wf) > 1
- Example: Borrow 50%, invest 150% in stocks

Ejemplos prácticos

• Asignación conservadora (70% RF, 30% riesgosa):

  Rf = 3%, E(Rp) = 12%, σp = 20%
  E(Rc) = 0.7(3%) + 0.3(12%) = 5.7%
  σc = 0.3 × 20% = 6%
  

• Cartera apalancada (pedir prestado 50%):

  wf = -0.5, wp = 1.5
  E(Rc) = 3% + 1.5(12% - 3%) = 16.5%
  σc = 1.5 × 20% = 30%
  

Aplicación DeFi defi-application

En DeFi, el sustituto libre de riesgo suele ser el préstamo de monedas estables: USDC en Aave (3-5% APY), la tasa de ahorro DAI (1-8% APY) o monedas estables respaldadas por el Tesoro. Estos cumplen el mismo papel que las letras del Tesoro en el marco tradicional, anclando el extremo izquierdo de la línea de asignación de capital.

Las estrategias DeFi apalancadas replican la cartera de préstamos en la CAL. Un usuario deposita ETH como garantía, toma prestadas monedas estables al 5% y las usa para comprar más ETH, amplificando tanto el rendimiento como el riesgo esperado. Esto es conceptualmente idéntico al ejemplo de cartera apalancada anterior, pero con una capa adicional de riesgo de liquidación que el apalancamiento tradicional no suele conllevar:

1. Deposit ETH as collateral
2. Borrow stablecoins at 5%
3. Buy more ETH (leverage)
4. Expected return amplified
5. Liquidation risk at high leverage

OA2: Explique la línea de asignación de capital (CAL) y la línea de mercado de capitales (CML)

Concepto central exam-focus

La CAL representa todas las combinaciones posibles de riesgo-rendimiento al mezclar un activo libre de riesgo con cualquier cartera riesgosa, mientras que la CML es el caso especial en el que la cartera de mercado sirve como la cartera de riesgo óptima. El CML representa el mejor CAL posible disponible para todos los inversores, definiendo la frontera eficiente cuando existe un activo libre de riesgo y estableciendo el punto de referencia para el rendimiento de la cartera. La CML domina todas las demás CAL porque es tangente a la frontera eficiente de Markowitz y su pendiente es igual a la relación de Sharpe del mercado. Una distinción clave del examen: la CML se aplica solo a carteras eficientes (riesgo total en el eje x), mientras que el SML se aplica a todos los activos (beta en el eje x).

Ecuación CAL

General CAL:
E(Rp) = Rf + [(E(Ri) - Rf)/σi] × σp

Where:
- Slope = Sharpe ratio of risky portfolio
- Intercept = Risk-free rate
- Linear relationship

Ecuación CML

Capital Market Line:
E(Rp) = Rf + [(E(Rm) - Rf)/σm] × σp

Market Price of Risk:
Slope = [E(Rm) - Rf]/σm

Interpretation:
- Additional return per unit of risk
- Same for all efficient portfolios

Representación gráfica

Return
   ^
   |    CML (tangent to efficient frontier)
   |   /
   |  /  Efficient Frontier
   | /  /
Rf |/__/
   |
   +-----------> Risk (σ)
        σm

Ejemplos numéricos

• Construcción CML:

  Market: E(Rm) = 10%, σm = 16%
  Risk-free: Rf = 3%
  
  CML equation: E(Rp) = 3% + (7%/16%) × σp
                      = 3% + 0.4375 × σp
  
  Portfolio with σp = 10%:
  E(Rp) = 3% + 0.4375(10%) = 7.375%
  

• Comparación CAL vs CML:

  Suboptimal portfolio: E(R) = 9%, σ = 18%
  CAL slope = (9% - 3%)/18% = 0.333
  
  Market portfolio: E(Rm) = 10%, σm = 16%
  CML slope = (10% - 3%)/16% = 0.4375
  
  CML dominates (higher slope)
  

Aplicación DeFi

• Construcción DeFi CML:

  DeFi Market Portfolio:
  - 40% BTC
  - 30% ETH
  - 20% DeFi tokens
  - 10% Stablecoins
  
  Expected return: 35% APY
  Volatility: 55%
  Risk-free (USDC): 4%
  
  DeFi CML slope = (35% - 4%)/55% = 0.564
  ```### OA3: Explique el riesgo sistemático y no sistemático, incluido por qué un inversor no debería esperar recibir rendimiento adicional por asumir un riesgo no sistemático
  

Concepto central exam-focus

El riesgo sistemático afecta a todo el mercado y no se puede diversificar, mientras que el riesgo no sistemático es específico de los activos y se puede eliminar mediante la diversificación. Sólo el riesgo sistemático genera una prima de riesgo. Esta distinción es una de las más importantes en todas las finanzas: explica por qué la beta (no la volatilidad total) determina los rendimientos esperados a través del CAPM, por qué la diversificación es crucial y por qué los inversores solo reciben compensación por los riesgos que no pueden evitar. La implicación práctica es que el riesgo de una cartera bien diversificada converge hacia el componente sistemático, y la gestión de riesgos debe centrarse en comprender y gestionar esa exposición.

Descomposición del riesgo formula

Total Risk = Systematic Risk + Nonsystematic Risk
σi² = βi²σm² + σε²

Where:
- σi² = Total variance
- βi²σm² = Systematic variance
- σε² = Nonsystematic (residual) variance

R-squared:
R² = Systematic Risk / Total Risk = βi²σm² / σi²

Fuentes de riesgo

Systematic Risk Sources:
- Interest rate changes
- Inflation shocks
- Economic cycles
- Political uncertainty
- Global pandemics
- Currency movements

Nonsystematic Risk Sources:
- Management changes
- Product recalls
- Lawsuits
- Labor strikes
- Accounting fraud
- Competition

Efecto de diversificación

Portfolio with n stocks:
σp² = (1/n)σ̄² + ((n-1)/n)C̄ov

As n → ∞:
σp² → C̄ov (average covariance)
Nonsystematic risk → 0
Only systematic risk remains

Ejemplos prácticos

• Desglose del riesgo de acciones individuales:

  Apple Stock:
  Total volatility = 25%
  Beta = 1.2
  Market volatility = 16%
  
  Systematic risk = 1.2² × 16%² = 36.86% of variance
  Nonsystematic = 63.14% of variance
  R² = 0.3686
  

• Ruta de diversificación de la cartera:

  1 stock: σ = 35%
  5 stocks: σ = 25%
  20 stocks: σ = 18%
  100 stocks: σ = 16.5%
  Market index: σ = 16%
  
  Limit = systematic risk only
  

¿Por qué no hay prima por riesgo no sistemático?

1. Fácilmente eliminado: la simple diversificación lo elimina
2. Sin impacto en el mercado: no afecta la economía en general
3. Argumento de arbitraje: si se fija el precio, cree una cartera diversificada para obtener un almuerzo gratis
4. Mercados competitivos: los inversores no pagarán por riesgos innecesarios

Aplicación DeFi defi-application

La distinción sistemática versus no sistemática se relaciona directamente con DeFi. Los riesgos sistemáticos de DeFi (ciclos del mercado de criptomonedas, cambios regulatorios, tarifas de gas de Ethereum y despegs de las monedas estables) afectan a todo el ecosistema y no se pueden diversificar dentro de las criptomonedas. Estos son los riesgos por los que los rendimientos de DeFi compensan a los inversores. Los riesgos no sistemáticos de DeFi (errores de contratos inteligentes, piratería de protocolos, ataques de gobernanza y crisis de liquidez específicas de protocolos) se pueden reducir sustancialmente mediante la diversificación multiprotocolo y multicadena.

Systematic DeFi Risks:             Nonsystematic DeFi Risks:
- Crypto market cycles              - Smart contract bugs
- Regulatory changes                - Protocol hacks
- Ethereum gas fees                 - Governance attacks
- Stablecoin depegs                 - Liquidity crises

Diversification Strategy:
- Multiple protocols → reduces smart contract risk
- Different chains → reduces infrastructure risk
- Various strategies → reduces strategy-specific risk

Este marco explica por qué distribuir capital entre Aave, Compound, MakerDAO y Curve reduce el riesgo general: los riesgos específicos del protocolo están imperfectamente correlacionados y se eliminan, dejando solo la exposición sistemática a DeFi que genera la prima de riesgo.

OA4: Explicar los modelos generadores de retorno (incluido el modelo de mercado) y sus usos

Concepto central

• Definición: Los modelos generadores de rendimiento son representaciones estadísticas que explican los rendimientos de los activos como funciones de uno o más factores sistemáticos más un componente idiosincrásico, siendo el modelo de mercado la versión más simple de un solo factor.
• Por qué es importante: estos modelos proporcionan marcos para comprender los factores de retorno, estimar los retornos esperados, medir el desempeño anormal y construir carteras basadas en factores.
• Modelos clave:
  • Modelo de índice único (mercado)
  • Modelos multifactoriales
  • Modelos de factores macroeconómicos
  • Modelos de factores fundamentales
  • Modelos de factores estadísticos.

Modelo de mercado

Market Model Equation:
Ri,t = αi + βi × Rm,t + εi,t

Where:
- Ri,t = Return of asset i in period t
- αi = Intercept (alpha)
- βi = Sensitivity to market (beta)
- Rm,t = Market return in period t
- εi,t = Random error term

Assumptions:
E(εi) = 0
Cov(εi, Rm) = 0
Cov(εi, εj) = 0 for i ≠ j
```#### Modelos multifactoriales

General Form: Ri = αi + βi,1F1 + βi,2F2 + … + βi,kFk + εi

Fama-French Three-Factor: Ri - Rf = αi + βi,MKT(Rm - Rf) + βi,SMB×SMB + βi,HML×HML + εi

Where:

• SMB = Small minus Big (size factor)
• HML = High minus Low (value factor)

#### Aplicaciones de modelo

1. **Atribución de desempeño**:

Decompose returns into:

• Market contribution: β × Rm
• Alpha (skill): α
• Random (luck): ε

2. **Estimación de riesgos**:

Systematic risk: β²σm² Total risk: β²σm² + σε² Tracking error: σε

3. **Previsión de rentabilidad esperada**:

E(Ri) = αi + βi × E(Rm)

#### Ejemplo de estimación

Regression Output: Ri = 0.002 + 1.3 × Rm + εi R² = 0.65 Standard error = 0.04

Interpretation:

• Alpha = 0.2% per period
• Beta = 1.3 (30% more volatile)
• 65% of variance explained
• 35% is idiosyncratic

#### Aplicación DeFi

- **Modelos de factores DeFi**:

DeFi Token Return Model: R = α + β1×BTC + β2×ETH + β3×TVL_growth + β4×Gas_fees + ε

Where:

• BTC/ETH = Crypto market factors
• TVL_growth = Protocol adoption
• Gas_fees = Network congestion

### LO5: Calcular e interpretar beta

#### Concepto central #exam-focus #capm

Beta mide el riesgo sistemático de un activo cuantificando su sensibilidad a los movimientos del mercado: representa el cambio porcentual esperado en el rendimiento del activo para un cambio del 1% en el rendimiento del mercado. Beta es la medida de riesgo clave en el [[#lo6|CAPM]], determina los rendimientos requeridos, orienta las decisiones de [[Topic-4-Basics-of-Portfolio-Planning-and-Construction|construcción de cartera]] y ayuda a los inversores a comprender y gestionar la exposición al mercado. Los métodos de cálculo (covarianza/varianza, fórmula de correlación y regresión) se basan en [[01-Quantitative-Methods/index|Métodos cuantitativos]].

Interpretaciones clave:

- Beta = 1: Se mueve con el mercado.
- Beta > 1: Amplifica los movimientos del mercado (agresivo)
- Beta < 1: Amortigua los movimientos del mercado (defensivo)
- Beta = 0: Mercado neutral
- Beta < 0: Relación inversa (potencial de cobertura)

#### Métodos de cálculo beta #formula

Method 1: Covariance/Variance βi = Cov(Ri, Rm) / Var(Rm) = Cov(Ri, Rm) / σm²

Method 2: Correlation Formula βi = ρi,m × (σi / σm)

Method 3: Regression Run regression: Ri = α + βRm + ε Beta = slope coefficient

#### Ejemplo de cálculo

Given Data: Asset returns: 15%, -5%, 20%, 10%, 5% Market returns: 10%, -2%, 15%, 8%, 4%

Step 1: Calculate means R̄i = 9%, R̄m = 7%

Step 2: Calculate covariance Cov = Σ[(Ri - R̄i)(Rm - R̄m)] / (n-1) = 54 / 4 = 13.5

Step 3: Calculate market variance σm² = Σ(Rm - R̄m)² / (n-1) = 40.8 / 4 = 10.2

Step 4: Calculate beta β = 13.5 / 10.2 = 1.32

#### Cálculo beta de HP 12C

Using linear regression function: Clear: [f] [REG] Enter data pairs: 10 [ENTER] 15 [Σ+] -2 [ENTER] -5 [Σ+] 15 [ENTER] 20 [Σ+] 8 [ENTER] 10 [Σ+] 4 [ENTER] 5 [Σ+]

Calculate slope (beta): 0 [g] [y,r] → Beta

#### Ejemplos de interpretación beta

Technology Stock: β = 1.5

• 10% market rise → 15% expected rise
• 10% market fall → 15% expected fall
• High systematic risk

Utility Stock: β = 0.6

• 10% market rise → 6% expected rise
• Defensive, stable returns

Gold Mining: β = -0.2

• Slight negative correlation
• Potential hedge properties

#### Cartera Beta

Portfolio Beta: βp = Σwi × βi

Example: 40% Stock A (β = 1.2) 30% Stock B (β = 0.8) 30% Stock C (β = 1.5)

βp = 0.4(1.2) + 0.3(0.8) + 0.3(1.5) = 0.48 + 0.24 + 0.45 = 1.17

#### Aplicación DeFi

- **Betas de tokens DeFi**:

Relative to Crypto Market: BTC: β = 1.0 (market benchmark) ETH: β = 1.2-1.4 DeFi tokens: β = 1.5-2.5 Memecoins: β = 2.5-4.0 Stablecoins: β ≈ 0

High beta strategies:

• Leveraged positions
• Small-cap DeFi tokens
• New protocol launches

### OA6: Explique el modelo de valoración de activos de capital (CAPM), incluidos sus supuestos, y la línea del mercado de valores (SML)

#### Concepto central #exam-focus #capm

El modelo de valoración de activos de capital (CAPM) es un modelo de equilibrio que describe la relación entre el riesgo sistemático (beta) y el rendimiento esperado. Establece que el rendimiento esperado es igual a la tasa libre de riesgo más una prima de riesgo proporcional a beta. CAPM proporciona la base teórica para la fijación de precios de activos, [[05-Equity-Investments/index|estimación del costo de capital]], [[#lo9|evaluación del desempeño]], y la comprensión de por qué solo el [[#lo3|riesgo sistemático]] se compensa en mercados eficientes. La Línea del Mercado de Valores (SML) es la representación gráfica de CAPM: los activos por encima del SML están infravalorados (alfa positivo, comprar), los activos por debajo están sobrevalorados (alfa negativo, vender). Este modelo, a pesar de sus supuestos restrictivos, sigue siendo el caballo de batalla de las finanzas aplicadas.

#### Ecuación CAPM #formula #exam-focus

CAPM Formula: E(Ri) = Rf + βi[E(Rm) - Rf]

Where:

• E(Ri) = Expected return of asset i
• Rf = Risk-free rate
• βi = Beta of asset i
• E(Rm) = Expected market return
• [E(Rm) - Rf] = Market risk premium

#### Supuestos CAPM

1. Investor Assumptions:

   • Risk-averse
   • Utility maximizers
   • Rational (mean-variance)

2. Market Assumptions:

   • No transaction costs
   • No taxes
   • Unlimited borrowing/lending at Rf
   • Perfect competition

3. Security Assumptions:

   • Infinitely divisible
   • No restrictions on short selling

4. Information Assumptions:

   • Homogeneous expectations
   • Same one-period horizon
   • All information freely available

#### Línea de Mercado de Seguridad (SML)

SML Properties:

• X-axis: Beta (systematic risk)
• Y-axis: Expected return
• Intercept: Risk-free rate
• Slope: Market risk premium

SML Equation: E(R) = Rf + β[E(Rm) - Rf]

Position Analysis:

• On SML: Fairly priced
• Above SML: Undervalued (buy)
• Below SML: Overvalued (sell)

#### Aplicaciones CAPM

1. **Costo de capital**:

Company with β = 1.3 Rf = 3%, E(Rm) = 10%

Cost of equity = 3% + 1.3(7%) = 12.1%

2. **Evaluación del Proyecto**:

Project beta = 1.5 Expected return = 14% CAPM required = 3% + 1.5(7%) = 13.5%

Decision: Accept (14% > 13.5%)

3. **Valoración de Valores**:

Stock beta = 0.8 Expected return = 8% CAPM required = 3% + 0.8(7%) = 8.6%

Alpha = 8% - 8.6% = -0.6% Decision: Overvalued (sell)

#### Ejemplo gráfico

   Return
     ^
15% -|     . (β=1.5, Undervalued)
     |    /
10% -|   /Market (β=1, E(R)=10%)
     |  /
 8% -| /. (β=0.8, Overvalued)
     |/
 3% -+-----------> Beta
     0    0.8  1.0  1.5

#### Aplicación DeFi #defi-application #capmAplicar CAPM a DeFi requiere definir una tasa libre de riesgo criptográfico (préstamos de monedas estables de aproximadamente el 4%) y un rendimiento del mercado DeFi (el rendimiento general del mercado criptográfico, aproximadamente el 40% en los mercados alcistas). La prima de mercado resultante del 36% es mucho más alta que las primas de acciones tradicionales, lo que refleja la extrema volatilidad y los riesgos novedosos del espacio. Un protocolo con beta de 2.0 requeriría un rendimiento del 76% solo para compensar el riesgo sistemático, y cualquier valor superior a eso representa un alfa genuino.

DeFi Risk-free: Stablecoin yield = 4% DeFi Market return: 40% DeFi Market premium: 36%

Protocol with β = 2.0: E(R) = 4% + 2.0(36%) = 76% required return

Actual yield = 100% Alpha = 100% - 76% = 24% (attractive)

Este marco ayuda a distinguir entre los protocolos DeFi que realmente generan alfa y aquellos que simplemente compensan la alta beta inherente a las criptomonedas. Muchos [[Topic-5-The-Behavioral-Biases-of-Individuals|sesgos de comportamiento]], particularmente el exceso de confianza y el anclaje a los APY principales, hacen que los inversores confundan la compensación beta con la alfa.

### LO7: Calcular e interpretar la rentabilidad esperada de un activo utilizando el CAPM

#### Concepto central

- **Definición**: El cálculo del rendimiento esperado del CAPM determina el rendimiento mínimo que un inversor debe exigir para asumir el riesgo sistemático de un activo, sirviendo como punto de referencia para las decisiones de inversión.
- **Por qué es importante**: este cálculo proporciona la tasa de rentabilidad para las decisiones de inversión, la tasa de descuento para la valoración y el punto de referencia para medir los rendimientos anormales (alfa).
- **Aplicaciones clave**:
  - Selección de inversiones
  - Presupuesto de capital
  - Evaluación de desempeño
  - Determinación del valor razonable

#### Cálculo paso a paso

Steps:

1. Identify risk-free rate (Rf)
2. Determine market return E(Rm)
3. Calculate market premium [E(Rm) - Rf]
4. Obtain or calculate beta (β)
5. Apply CAPM: E(R) = Rf + β[E(Rm) - Rf]

#### Ejemplos de cálculo

- **Ejemplo 1: Stock único**:

Given:

• Rf = 2.5%
• E(Rm) = 9.5%
• Stock beta = 1.25

E(R) = 2.5% + 1.25(9.5% - 2.5%) = 2.5% + 1.25(7%) = 2.5% + 8.75% = 11.25%

- **Ejemplo 2: Portafolio**:

Portfolio composition:

• 50% Stock A (β = 1.4)
• 30% Stock B (β = 0.9)
• 20% Stock C (β = 0.5)

Portfolio beta = 0.5(1.4) + 0.3(0.9) + 0.2(0.5) = 0.7 + 0.27 + 0.1 = 1.07

E(Rp) = 2.5% + 1.07(7%) = 10.0%

#### Cálculo de CAPM HP 12C

Calculate E(R) for β = 1.3: 0.095 [ENTER] (Market return) 0.025 [-] (Less Rf = Premium) 1.3 [×] (Times beta) 0.025 [+] (Plus Rf) Result: 0.116 or 11.6%

#### Análisis de sensibilidad

Impact of Beta Changes: Base case: Rf = 3%, MRP = 7%

β = 0.5: E(R) = 3% + 0.5(7%) = 6.5% β = 1.0: E(R) = 3% + 1.0(7%) = 10.0% β = 1.5: E(R) = 3% + 1.5(7%) = 13.5% β = 2.0: E(R) = 3% + 2.0(7%) = 17.0%

Each 0.1 beta = 0.7% return change

#### Aplicación del mundo real

- **Valoración de empresas tecnológicas**:

Apple Inc:

• Beta = 1.2 (Bloomberg estimate)
• Rf = 4% (10-year Treasury)
• Market premium = 5.5% (historical)

Required return = 4% + 1.2(5.5%) = 10.6%

Use for:

• DCF discount rate
• Option pricing
• Performance benchmark

#### Aplicación DeFi

- **Devoluciones requeridas por el protocolo DeFi**:

Conservative (Aave): β = 1.5 E(R) = 4% + 1.5(36%) = 58%

Moderate (Uniswap): β = 2.0 E(R) = 4% + 2.0(36%) = 76%

Aggressive (New DeFi): β = 3.0 E(R) = 4% + 3.0(36%) = 112%

Compare to actual yields for alpha

### LO8: Describir y demostrar aplicaciones del CAPM y el SML

#### Concepto central

- **Definición**: las aplicaciones CAPM y SML abarcan análisis de inversiones, finanzas corporativas y gestión de carteras, proporcionando marcos para fijar precios de activos, evaluar inversiones y medir el rendimiento.
- **Por qué es importante**: estas aplicaciones transforman conceptos teóricos en herramientas prácticas para tomar decisiones de inversión, establecer tasas de rentabilidad e identificar valores con precios incorrectos.
- **Aplicaciones clave**:
- Selección de seguridad
- Presupuesto de capital
- Evaluación de desempeño
- Precios ajustados al riesgo
- Optimización de cartera

#### Solicitud de selección de seguridad

Screening Process:

1. Calculate required return via CAPM
2. Compare to expected/forecast return
3. Calculate alpha (excess return)
4. Make investment decision

Example: Stock A: E(R) = 15%, β = 1.3 CAPM: R = 3% + 1.3(8%) = 13.4% Alpha = 15% - 13.4% = 1.6% Decision: Buy (positive alpha)

#### Solicitud de presupuesto de capital

Project Evaluation:

1. Estimate project beta
2. Calculate required return
3. Use as discount rate for NPV
4. Accept if NPV > 0

Example: New factory project:

• Beta = 1.4 (similar to company)
• Required return = 3% + 1.4(7%) = 12.8%
• NPV at 12.8% = $2.3M
• Decision: Accept

#### Construcción de cartera

Optimization Process:

1. Start with market portfolio
2. Identify positive alpha securities
3. Overweight undervalued assets
4. Underweight overvalued assets
5. Maintain target beta

Example Portfolio Tilt: Market weight: 2% Positive alpha: Overweight to 3% Negative alpha: Underweight to 1%

#### Atribución de rendimiento

Return Decomposition: Total Return = Rf + β(Rm - Rf) + α

Example: Portfolio return = 14% Rf = 3%, Rm = 10%, β = 1.2

Expected = 3% + 1.2(7%) = 11.4% Alpha = 14% - 11.4% = 2.6%

Attribution:

• Risk-free: 3%
• Market risk: 8.4%
• Alpha (skill): 2.6%

#### Ejemplo de análisis SML

Multiple Securities: Stock Beta Expected Required Alpha Action A 0.8 9% 9.4% -0.4% Sell B 1.2 12% 11.2% 0.8% Buy C 1.5 14% 13.5% 0.5% Buy D 0.6 7% 7.8% -0.8% Sell

#### Valoración de opciones reales

Using CAPM for Real Options: Project with embedded options:

• Base project beta = 1.3
• Option increases value volatility
• Adjusted beta = 1.5
• Higher required return = 13.5%

#### Aplicación DeFi

- **Evaluación del protocolo DeFi**:

Yield Farming Opportunity:

• Protocol APY: 45%
• Protocol beta: 2.5
• Required: 4% + 2.5(36%) = 94%

Alpha = 45% - 94% = -49% Decision: Skip (negative alpha)

Better Alternative:

• Blue-chip staking: 15% APY
• Beta: 1.2
• Required: 4% + 1.2(36%) = 47.2%
• Alpha = 15% - 47.2% = -32.2%
• Still negative but better risk-adjusted

### LO9: Calcular e interpretar el ratio de Sharpe, el ratio de Treynor, M-cuadrado y el alfa de Jensen

#### Concepto central #exam-focusEstas cuatro medidas de desempeño evalúan los rendimientos de la cartera ajustados al riesgo, cada una adaptada a un contexto diferente. El índice de Sharpe utiliza el riesgo total (desviación estándar) como denominador, apropiado para evaluar una cartera independiente. El índice Treynor utiliza el riesgo sistemático (beta), mejor para evaluar una cartera que es un componente de una asignación más grande. M-squared proporciona una comparación de porcentajes intuitiva mediante el apalancamiento o desapalancamiento de una cartera para igualar el riesgo de mercado. El alfa de Jensen mide el exceso de rentabilidad en relación con el CAPM, cuantificando directamente la habilidad de gestión activa. Las clasificaciones pueden diferir según las medidas, razón por la cual el examen de finanzas prueba cuándo usar cada una. Estas medidas se conectan con los cálculos de riesgo de [[#lo6|CAPM]] y de [[Topic-1-Portfolio-Risk-and-Return-Part-I|Part I's]].

#### Relación de Sharpe #formula

Formula: Sharpe Ratio = [E(Rp) - Rf] / σp

Interpretation:

• Excess return per unit of total risk
• Higher is better
• Negative means underperformed Rf
• Compare to benchmark Sharpe

Example: Portfolio: R = 12%, σ = 18% Risk-free: 3% Sharpe = (12% - 3%) / 18% = 0.50

Market Sharpe = (10% - 3%) / 15% = 0.47 Conclusion: Outperformed (0.50 > 0.47)

#### Relación Treynor

Formula: Treynor Ratio = [E(Rp) - Rf] / βp

Interpretation:

• Excess return per unit of systematic risk
• For well-diversified portfolios
• Higher is better
• Assumes nonsystematic risk eliminated

Example: Portfolio: R = 14%, β = 1.3 Risk-free: 3% Treynor = (14% - 3%) / 1.3 = 8.46%

Market Treynor = (10% - 3%) / 1.0 = 7% Conclusion: Outperformed

#### M-Cuadrado (M²)

Formula: M² = (Rp - Rf) × (σm/σp) + Rf = Sharpe_p × σm + Rf

Interpretation:

• Risk-adjusted return in percentage terms
• Leverages/deleverages to market risk
• Direct comparison with market return
• Intuitive percentage interpretation

Example: Portfolio: R = 15%, σ = 25% Market: Rm = 10%, σm = 15% Rf = 3%

M² = (15% - 3%) × (15%/25%) + 3% = 12% × 0.6 + 3% = 10.2%

Compare: M² = 10.2% vs Market = 10% Outperformed by 0.2% risk-adjusted

#### Alfa de Jensen

Formula: αp = Rp - [Rf + βp(Rm - Rf)]

Interpretation:

• Actual return minus CAPM expected
• Positive = outperformance
• Negative = underperformance
• Measures active management skill

Example: Portfolio: Actual return = 16% Beta = 1.2, Rf = 3%, Rm = 10%

Expected = 3% + 1.2(10% - 3%) = 11.4% Alpha = 16% - 11.4% = 4.6%

Significant positive alpha

#### Análisis comparativo

Portfolio Performance Metrics: A B C Return 18% 14% 11% Std Dev 22% 16% 10% Beta 1.4 1.1 0.7 Rf = 3%, Rm = 10%, σm = 15%

Sharpe: 0.68 0.69 0.80 Treynor: 10.7% 10.0% 11.4% M²: 13.2% 13.3% 15.0% Alpha: 4.2% 1.3% 1.1%

Rankings vary by measure!

#### Cálculos de HP 12C

Sharpe Ratio: 0.12 [ENTER] 0.03 [-] → 0.09 0.18 [÷] → 0.50

Jensen’s Alpha: 0.16 [ENTER] (Actual return) 0.10 [ENTER] 0.03 [-] (Market premium) 1.2 [×] (Times beta) 0.03 [+] (Plus Rf) [-] → 0.046 (Alpha)

#### Ejemplo práctico

- **Evaluación de Fondos Mutuos**:

Fund Data:

• 3-year return: 13.5%
• Volatility: 19%
• Beta: 1.15
• Benchmark: 11%, σ = 16%
• T-bills: 2.5%

Sharpe = (13.5% - 2.5%) / 19% = 0.58 Treynor = (13.5% - 2.5%) / 1.15 = 9.57% M² = 0.58 × 16% + 2.5% = 11.78% Alpha = 13.5% - [2.5% + 1.15(8.5%)] = 1.23%

All measures show outperformance

#### Aplicación DeFi #defi-application

La aplicación de las cuatro medidas de desempeño a una cartera de agricultura de rendimiento de DeFi revela cómo diferentes lentes de riesgo pueden contar historias diferentes. Una cartera con un rendimiento del 85 % y una volatilidad del 120 % parece atractiva según una base de Sharpe (0,675), pero el alfa de Jensen negativo (-9 %) revela que los rendimientos no son suficientes para compensar la exposición extrema a la beta. Al inversor le habría ido mejor si hubiera aprovechado una estrategia de beta inferior para lograr el mismo rendimiento. Este análisis es particularmente valioso para evaluar las fuentes de rendimiento de DeFi: muchas estrategias de alto APY simplemente incorporan una beta alta en lugar de generar un alfa genuino.

Yield Farming Portfolio:

• Annual return: 85%
• Volatility: 120%
• Beta to crypto: 2.5
• Crypto market: 40%, σ = 60%
• Stable yield: 4%

Sharpe = (85% - 4%) / 120% = 0.675 Treynor = (85% - 4%) / 2.5 = 32.4% M² = 0.675 × 60% + 4% = 44.5% Alpha = 85% - [4% + 2.5(36%)] = -9%

Good Sharpe but negative alpha High risk not fully compensated

## Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)

### Conocimientos esenciales (20% que explica el 80%)

1. **Línea Mercado de Capitales (CML)**:
   - Combines risk-free asset with market portfolio
   - E(Rp) = Rf + [(E(Rm) - Rf)/σm] × σp
   - Best available risk-return combinations
   - All investors use same risky portfolio

2. **Ecuación CAPM**:
   - E(Ri) = Rf + βi[E(Rm) - Rf]
   - Only systematic risk is priced
   - Linear relationship with beta
   - Foundation for required returns

3. **Riesgo sistemático versus no sistemático**:
   - Sistemático: A nivel de mercado, no diversificable, con precio.
   - No sistemático: específico de la empresa, diversificable, sin precio.
   - Varianza total = β²σm² + σε²
   - La diversificación elimina sólo los no sistemáticos.

4. **Interpretación Beta**:
   - Measures systematic risk exposure
   - β = Cov(Ri,Rm)/σm²
   - β > 1: Aggressive, β < 1: Defensive
   - Determines required return in CAPM

5. **Medidas de desempeño**:
   - Sharpe: (R - Rf)/σ (riesgo total)
   - Treynor: (R - Rf)/β (riesgo sistemático)
   - α de Jensen: R - [Rf + β(Rm - Rf)]
   - M²: Riesgo ajustado al nivel de mercado

### Relaciones críticas

- **Compensación riesgo-rentabilidad**: un mayor riesgo sistemático requiere una mayor rentabilidad
- **Separación de dos fondos**: todos tienen combinaciones de cartera libre de riesgo y de mercado.
- **SML vs CML**: SML para todos los activos, CML solo para carteras eficientes
- **Límite de diversificación**: solo puede eliminar el riesgo no sistemático

## Hoja de fórmula completa

### Riesgo y retorno

Portfolio with Risk-Free Asset: E(Rc) = wf × Rf + (1 - wf) × E(Rp) σc = |1 - wf| × σp

### Línea de mercado de capitales

CML: E(Rp) = Rf + [(E(Rm) - Rf)/σm] × σp Slope (Market Price of Risk) = [E(Rm) - Rf]/σm

### Cálculos beta

Beta = Cov(Ri,Rm) / σm² Beta = ρi,m × (σi/σm) Portfolio Beta: βp = Σwi × βi

### CAPM

E(Ri) = Rf + βi[E(Rm) - Rf] SML: Same equation, x-axis = β

### Descomposición del riesgo

Total Variance: σi² = βi²σm² + σε² R-squared: R² = βi²σm² / σi² Systematic Risk = βi²σm² Nonsystematic Risk = σε²

### Medidas de desempeño

Sharpe Ratio = [E(Rp) - Rf] / σp Treynor Ratio = [E(Rp) - Rf] / βp M² = Sharpe_p × σm + Rf Jensen’s Alpha = Rp - [Rf + βp(Rm - Rf)]

Ri,t = αi + βi × Rm,t + εi,t E(εi) = 0, Cov(εi,Rm) = 0

## Secuencias de la calculadora HP 12C

### Cálculo Beta (Regresión)

Clear: [f] [REG] Enter x,y pairs: Rm [ENTER] Ri [Σ+] Calculate beta: 0 [g] [y,r]

### Rendimiento esperado de CAPM

Market premium: Rm [ENTER] Rf [-] Risk premium: β [×] Expected return: Rf [+]

### Relación de Sharpe

Excess return: Rp [ENTER] Rf [-] Sharpe: σp [÷]

### Alfa de Jensen

Actual return: Rp [ENTER] Market premium: Rm [ENTER] Rf [-] Beta premium: β [×] Expected return: Rf [+] Alpha: [-]

### M-cuadrado

Sharpe ratio: [Calculate as above] M²: σm [×] Rf [+]

## Problemas de práctica

### Nivel Básico

1. **Cálculo de CML**: Dado Rf = 3%, E(Rm) = 11%, σm = 20%, encuentre el rendimiento esperado para la cartera con σp = 15%.

2. **Interpretación Beta**: Una acción tiene β = 1,4. Si el mercado sube un 10%, ¿cuál es el cambio esperado en el rendimiento de las acciones?

3. **Retorno CAPM**: Calcule el rendimiento requerido para las acciones con β = 0,8, dado Rf = 4%, E(Rm) = 12%.

4. **Descomposición del riesgo**: la acción tiene una varianza total de 0,09, una beta de 1,2 y una varianza de mercado de 0,04. Calcular el riesgo sistemático y no sistemático.

### Nivel Intermedio

5. **Medidas de desempeño**: La cartera obtuvo una ganancia del 15 % con σ = 22 % y β = 1,3. El mercado obtuvo un rendimiento del 12% con σ = 18%. Rf = 3%. Calcule las cuatro medidas de desempeño.

6. **Análisis SML**: Tres acciones:
   - A: E(R) = 14%, β = 1.2
   - B: E(R) = 10%, β = 0.8
   - C: E(R) = 16%, β = 1.5
     Given Rf = 3%, Rm = 11%, which are undervalued?

7. **Cartera apalancada**: Cree una cartera con E(R) = 15% usando Rf = 3% y una cartera de mercado con E(Rm) = 10%, σm = 16%. Calcule el apalancamiento requerido y el σp resultante.

### Nivel avanzado

8. **Atribución multifactorial**: la cartera obtuvo un rendimiento del 18 % con β = 1,4. El mercado obtuvo una rentabilidad del 12%, Rf = 3%. Descomponer el retorno en componentes.

9. **Selección óptima de cartera**: compare dos carteras:
   - A: E(R) = 13%, σ = 20%, β = 1.1
   - B: E(R) = 11%, σ = 15%, β = 0.9
     Market: E(Rm) = 10%, σm = 16%, Rf = 3%
     Which is superior and why?

10. **Asignación del presupuesto de riesgo**: Construya una cartera con el objetivo β = 1,2 utilizando:
    - Stock A: β = 1.5
    - Stock B: β = 0.8
    - Stock C: β = 1.0
      Find optimal weights.

### Problemas de DeFi

11. **Análisis de rendimiento de DeFi**: Calcule medidas de rendimiento para:
    - DeFi yield farm: 95% APY, 140% volatility, β = 3.0
    - Crypto market: 45% return, 70% volatility
    - Stable rate: 5%

12. **Comparación de protocolos**: Utilizando CAPM, evalúe:
    - Protocol A: 60% APY, β = 2.0
    - Protocol B: 40% APY, β = 1.5
    - Protocol C: 80% APY, β = 2.5
      Given crypto market premium = 40%.

## Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real

### Aplicaciones financieras tradicionales

1. **Análisis de fondos de capital**:

Growth Fund Performance:

• 5-year return: 14.5% annually
• Volatility: 21%
• Beta: 1.25
• Benchmark: S&P 500 (10%, σ = 16%)
• T-bills: 2%

Sharpe = 0.595 Treynor = 10% Alpha = 2% M² = 11.52%

2. **Evaluación de Proyectos Corporativos**:

Tech Expansion Project:

• Industry beta: 1.4
• Rf = 3%, Market premium = 7%
• Required return = 3% + 1.4(7%) = 12.8%
• Project IRR = 15%
• Positive NPV, accept project

### Estrategias de cartera DeFi

1. **Cartera DeFi con paridad de riesgo**:

Equal Risk Contribution:

• Stablecoins: 60% (low vol)
• Blue-chip crypto: 25% (medium vol)
• DeFi tokens: 10% (high vol)
• Yield farming: 5% (very high vol)

Each contributes ~25% to risk

2. **Estrategia DeFi Beta-Neutral**:

Long positions:

• ETH staking: β = 1.2
• AAVE lending: β = 1.5

Short positions:

• Perp shorts: β = -1.35

Net beta ≈ 0 Market-neutral returns

3. **Smart Beta DeFi**:

Factor tilts:

• TVL momentum (high TVL growth)
• Low volatility (stable protocols)
• Quality (audited, established)
• Value (low P/TVL ratios)

### Aplicaciones de gestión de riesgos

1. **Cobertura Beta**:

Portfolio beta = 1.5 Want to reduce to 1.0

Hedge ratio = (1.5 - 1.0) / 1.0 = 0.5 Short 50% in market index

2. **Objetivos de volatilidad**:

Target vol = 12% Strategy vol = 20% Leverage = 12% / 20% = 0.6

Allocate 60% to strategy 40% to cash/stables

## Errores comunes y consejos para los exámenes

### Errores conceptuales

1. **Confusión entre LMC y LME**:
- CML: solo carteras eficientes, σ en el eje x
- SML: Todos los valores, β en el eje x
- Pendiente CML > Pendiente SML en el punto de mercado

2. **Emparejamiento de medidas de riesgo**:
- Sharpe para carteras no diversificadas
- Treynor para carteras diversificadas
- No mezclar medidas de riesgo

3. **Interpretación Beta**:
- Beta ≠ correlación
- Beta puede exceder 1 o ser negativo
- La beta de la cartera es el promedio ponderado.

### Errores de cálculo

1. **Porcentaje frente a decimal**:
- Siempre revisa las unidades
- Convertir consistentemente
- Respuesta final en formato solicitado

2. **Inclusión de Tarifa Libre de Riesgo**:
- Agregue Rf nuevamente para obtener un retorno total
- Restar Rf por exceso de rentabilidad
- No cuentes dos veces

3. **Convenciones de signos**:
- Alfa negativo = bajo rendimiento
- Beta negativa = relación inversa
- Comprobar la intuición económica.

### Estrategia de examen1. **Comprobaciones rápidas**:
- CAPM return > Rf if β > 0
- Higher beta → higher required return
- Sharpe ratio dimensionless

2. **Ahorros de tiempo**:
- Memorize CAPM formula
- Know beta = 1 means market return
- Remember Rf is y-intercept

3. **Preguntas comunes**:
- Calcular los rendimientos requeridos.
- Identificar valores sobre/infravalorados
- Comparar medidas de desempeño
- Interpretar los valores beta.

## Conclusiones clave

### Principios básicos

1. **Solo el riesgo sistemático gana una prima**: el riesgo diversificable no se compensa
2. **CAPM proporciona precios de equilibrio**: rendimiento esperado lineal en beta
3. **La cartera de mercado es óptima para todos**: teorema de separación de dos fondos
4. **Las medidas de desempeño tienen diferentes propósitos**: elija según el contexto
5. **Beta impulsa rentabilidades requeridas**: no volatilidad total

### Aplicaciones prácticas

1. **Utilice CAPM para el costo de capital**: estándar en finanzas corporativas
2. **SML identifica errores de fijación de precios**: valores por encima/por debajo para señales de compra/venta
3. **Ratio de Sharpe para evaluación independiente**: Treynor para componentes de cartera
4. **El alfa de Jensen mide la habilidad**: el alfa positivo indica un rendimiento superior
5. **CML representa la frontera eficiente con activos libres de riesgo**: domina la frontera de solo riesgo

### Innovaciones DeFi

1. **Los mercados cambian la dinámica las 24 horas del día, los 7 días de la semana**: el descubrimiento continuo de precios afecta la versión beta
2. **Riesgos de protocolo más allá del modelo tradicional**: riesgo de contrato inteligente no capturado por beta
3. **La volatilidad extrema desafía los supuestos**: se violaron los supuestos de distribución normal
4. **La componibilidad crea nuevos factores**: TVL, gobernanza, efectos entre cadenas
5. **La incertidumbre regulatoria añade riesgo sistemático**: afecta a todo el mercado criptográfico

## Referencias cruzadas y recursos adicionales

### Temas financieros relacionados

- [[Topic-1-Portfolio-Risk-and-Return-Part-I|Riesgo y rendimiento de cartera Parte I]] -- Frontera eficiente, diversificación, variación de cartera
- [[05-Equity-Investments/index|Equity Investments]] -- Uso de CAPM para tasas de descuento y valoración
- [[06-Fixed-Income/index|Renta Fija]] -- Riesgo sistemático de tipo de interés, duración
- [[Topic-6-Introduction-to-Risk-Management|Gestión de riesgos]] -- Medición de riesgos, VaR, pruebas de estrés
- [[04-Corporate-Issuers/index|Emisores corporativos]] -- Costo de capital, evaluación de proyectos

### Artículos académicos clave

- Sharpe (1964): "Precios de los activos de capital: una teoría del equilibrio del mercado"
- Lintner (1965): "La valoración de los activos de riesgo"
- Black (1972): "Equilibrio del mercado de capitales con endeudamiento restringido"
- Roll (1977): "Una crítica de las pruebas de la teoría de la fijación de precios de activos"
- Fama y French (1992): "La sección transversal de los rendimientos esperados de las acciones"

### Recursos DeFi

- DeFi Pulse: Métricas de mercado y TVL
- Dune Analytics: cálculos beta en cadena
- CoinMetrics: Matrices de correlación
- Glassnode: Indicadores de mercado
- Terminal Token: fundamentos del protocolo

### Herramientas y plataformas

- Terminal Bloomberg: estimaciones Beta
- FactSet: análisis de modelos de riesgo
- Morningstar Direct: atribución de rendimiento
- Visualizador de cartera: herramientas CAPM en línea
- Paquetes Python/R: Análisis estadístico

## Revisar la lista de verificación

### Comprensión conceptual- [ ] Explicar el teorema de separación de dos fondos
- [ ] Distinguir el riesgo sistemático del no sistemático
- [ ] Comprender las suposiciones y limitaciones de CAPM
- [ ] Sepa cuándo utilizar cada medida de desempeño
- [ ] Interpretar SML y posiciones de seguridad

### Competencia en cálculo

- [ ] Calcular los rendimientos esperados usando CAPM
- [ ] Calcular beta a partir de datos
- [ ] Determinar la beta de la cartera
- [ ] Calcular todas las medidas de rendimiento
- [ ] Aplicar fórmula CML

### Habilidades de aplicación

- [ ] Identificar valores con precios incorrectos
- [ ] Evaluar oportunidades de inversión
- [ ] Descomponer retornos en componentes
- [ ] Seleccione las medidas de riesgo adecuadas
- [ ] Aplicar a escenarios del mundo real

### Preparación para el examen

- [ ] Completa todos los problemas de práctica.
- [ ] Revisar la hoja de fórmulas
- [ ] Practica secuencias HP 12C
- [ ] Comprender los tipos de preguntas comunes
- [ ] Estrategia de gestión del tiempo lista