Valor temporal del dinero en finanzas: guía de estudio mejorada
Objetivos de aprendizaje
Después de completar este tema, debería poder:
- Calcule e interprete el valor presente (PV) de los instrumentos de de renta fija y de de renta variable en función de los flujos de efectivo futuros esperados
- Calcule e interprete el rendimiento implícito de los instrumentos de renta fija y el rendimiento requerido y el crecimiento implícito de los instrumentos de capital dado el valor presente (PV) y los flujos de efectivo
- Explique el principio de aditividad del flujo de efectivo, su importancia para la condición de no arbitraje y su uso para calcular las tasas de interés a plazo implícitas, los tipos de cambio a plazo y los valores de las opciones
Conceptos básicos: el 80/20
Todo el concepto de valor del dinero en el tiempo (TVM) se reduce a una idea simple: un dólar hoy vale más que un dólar mañana. Esto se debe a que hoy se puede invertir un dólar para obtener un rendimiento. Este principio, explorado por primera vez a través de conceptos de tipos de interés, sustenta prácticamente todos los modelos de valoración en finanzas.
La fórmula básica de TVM
FV = PV(1 + r)^n formula exam-focus
- FV: Valor futuro
- PV: Valor presente
- r: Tasa de interés por período
- n: Número de periodos
Reorganización para el valor presente
PV = FV / (1 + r)^n o PV = FV x (1 + r)^(-n) formula
Ésta es la base de todo lo demás en esta sección. Si comprende esta fórmula, habrá recorrido el 80% del camino.
Objetivo de aprendizaje 1: Valor actual de los instrumentos de renta fija y de capital
Concepto central: valoración mediante flujos de efectivo descontados
Principio del valor presente: El valor de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente de sus flujos de efectivo futuros esperados, descontados a una tasa de rendimiento requerida adecuada.
Fórmula general de PV para múltiples flujos de efectivo:
PV = CF₁/(1+r)¹ + CF₂/(1+r)² + CF₃/(1+r)³ + ... + CFₙ/(1+r)ⁿ
donde:
- CF = Flujo de caja en el período t
- r = Tasa de rendimiento requerida (tasa de descuento)
- n = Número de períodos
Valoración de instrumentos de renta fija
Fórmula de valoración de bonos
PV = Σ[PMT/(1+r)^t] + FV/(1+r)^n formula exam-focus
donde:
- PMT = Pago periódico del cupón
- FV = Valor nominal (valor nominal)
- r = Rendimiento requerido (rendimiento al vencimiento)
- n = Número de periodos hasta el vencimiento
Pasos de HP 12C para la valoración de bonos
Ejemplo: Bono a 5 años, valor nominal de $1000, cupón anual del 6 %, retorno requerido del 8 % practice-problem
Pasos de HP 12C RPN: hp12c
Clear: f CLx
60 PMT (Annual coupon: $1,000 × 6% = $60)
1000 FV (Face value)
8 i (Required return)
5 n (Years to maturity)
PV (Calculate present value)
Result: -$920.15
Verificación de cálculo manual:
PV = 60/(1.08)¹ + 60/(1.08)² + 60/(1.08)³ + 60/(1.08)⁴ + 60/(1.08)⁵ + 1000/(1.08)⁵
PV = 55.56 + 51.44 + 47.63 + 44.10 + 40.83 + 680.58 = $920.15
Valoración de bonos cupón cero
Fórmula: PV = FV/(1+r)ⁿ
Ejemplo: Bono de cupón cero a 10 años, valor nominal de $1000, retorno requerido del 7%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
0 PMT (No coupon payments)
1000 FV (Face value)
7 i (Required return)
10 n (Years to maturity)
PV (Calculate present value)
Result: -$508.35
Valoración de instrumentos de capital
Modelo de descuento de dividendos (DDM)
Fórmula básica de DDM:
PV = D₁/(1+r)¹ + D₂/(1+r)² + D₃/(1+r)³ + ... + Dₙ/(1+r)ⁿ + Pₙ/(1+r)ⁿ
donde:
- Dₜ = Dividendo esperado en el periodo t
- Pₙ = Precio esperado al final del período de tenencia
- r = tasa de rendimiento requerida
Modelo de crecimiento de Gordon (DDM de crecimiento constante)
Fórmula: PV = D₁/(r - g) formula exam-focus
donde:- D₁ = Dividendo esperado del próximo período
- r = tasa de rendimiento requerida
- g = Tasa de crecimiento constante (r > g)
Ejemplo: Las acciones pagan un dividendo de $2 el próximo año, una tasa de crecimiento del 5%, un rendimiento requerido del 12%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
2 ENTER (Next year's dividend)
12 ENTER (Required return)
5 - (12% - 5% = 7%)
100 ÷ (Convert to decimal: 7% = 0.07)
÷ (D₁ ÷ (r-g))
Result: $28.57
DDM de crecimiento variable
Ejemplo de crecimiento en dos etapas:
- Período de alto crecimiento: 3 años al 20%
- Crecimiento estable: 4% a partir de entonces
- Dividendo actual: $1,50
- Rentabilidad requerida: 15%
Paso 1: Calcule los dividendos durante un período de alto crecimiento
- D₁ = $1,50 × 1,20 = $1,80
- D₂ = $1,80 × 1,20 = $2,16
- D₃ = $2,16 × 1,20 = $2,59
Paso 2: Calcular el valor terminal al final del año 3
- D₄ = $2,59 × 1,04 = $2,69
- P₃ = $2,69 / (0,15 - 0,04) = $24,45
Paso 3: Cálculo del valor presente
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
1.80 ENTER (D₁)
1.15 ÷ (PV of D₁)
2.16 ENTER (D₂)
1.15 ENTER 2 yˣ ÷ (PV of D₂)
2.59 ENTER (D₃)
1.15 ENTER 3 yˣ ÷ (PV of D₃)
24.45 ENTER (P₃)
1.15 ENTER 3 yˣ ÷ (PV of P₃)
+ + + (Sum all PVs)
Result: $19.24
Ejemplos prácticos
Valoración de bonos corporativos
Escenario: Bono de Apple Inc. a 10 años
- Valor nominal: $1,000
- Tasa cupón: 4,5% (semestral)
- Rendimiento del mercado actual: 5,2% (semestral)
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
22.50 PMT (Semiannual coupon: $1,000 × 4.5% ÷ 2)
1000 FV (Face value)
2.6 i (Semiannual yield: 5.2% ÷ 2)
20 n (Semiannual periods: 10 × 2)
PV (Calculate present value)
Result: -$946.93
Valoración de acciones de servicios públicos
Escenario: Acciones de empresas de servicios públicos
- Último dividendo: $3,20
- Crecimiento esperado: 3% anual
- Rentabilidad requerida: 9%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
3.20 ENTER (Last dividend)
1.03 × (Next year's dividend: D₁ = $3.296)
9 ENTER (Required return)
3 - (r - g = 6%)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (D₁ ÷ (r-g))
Result: $54.93
Aplicaciones DeFi
Valoración de tokens del fondo de liquidez
Los principios de TVM se aplican directamente a la valoración de activos DeFi. Un token LP que genera ingresos por tarifas puede valorarse como una perpetuidad creciente, al igual que una acción que paga dividendos según el modelo de crecimiento de Gordon. defi-application
Ejemplo: Grupo Uniswap V3 ETH/USDC
- Tarifas actuales ganadas: $100/día
- Crecimiento esperado en tarifas: 8% anual
- Tasa de descuento ajustada al riesgo: 15%
Valoración diaria a perpetuidad:
PV = Daily_Fees × 365 / (r - g)
PV = $100 × 365 / (0.15 - 0.08) = $521,429
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
100 ENTER (Daily fees)
365 × (Annual fees)
15 ENTER (Discount rate)
8 - (r - g)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (Annual fees ÷ (r-g))
Result: $521,428.57
Valoración de recompensas de apuesta
Ejemplo: Recompensas por apuesta de Ethereum
- Apuesta inicial: 32 ETH
- Rendimiento anual de la apuesta: 5%
- Se espera un crecimiento del precio de ETH: 10% anual
- Rentabilidad requerida: 18%
Recompensa del año 1: 32 × 0,05 = 1,6 ETH Perpetuidad creciente a partir del año 2: Tasa de crecimiento = 15 % (5 % de rendimiento + 10 % de apreciación de precio)
Pasos de HP 12C RPN para PV total:
f CLx
1.6 ENTER (Year 1 reward in ETH)
1.18 ÷ (PV of year 1 reward)
1.6 ENTER (Base annual reward)
1.15 × (Year 2 reward with growth)
18 ENTER (Required return)
15 - (r - g for perpetuity)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (Calculate perpetuity value)
1.18 ÷ (PV of perpetuity)
+ (Total PV)
Result: 62.72 ETH present value
Objetivo de aprendizaje 2: rendimientos implícitos y tasas de crecimiento
Concepto central: métricas financieras de ingeniería inversa
Cuando conocemos el precio actual y los flujos de efectivo esperados, podemos calcular el rendimiento implícito (tasa de descuento) o la tasa de crecimiento implícita.
Renta Fija: Rendimiento al Vencimiento (YTM)
Definición de YTM: La tasa de descuento que hace que el valor presente de todos los flujos de efectivo de los bonos sea igual al precio de mercado actual.
Ecuación de precios de bonos (resuelta para YTM):
Price = Σ[PMT/(1+YTM)ᵗ] + FV/(1+YTM)ⁿ
Calculando YTM con HP 12C
Ejemplo: Negociación de bonos a $875
- Valor nominal: $1,000
- Cupón: 5% anual ($50)
- Años hasta el vencimiento: 8
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
-875 PV (Current price - negative because it's a cash outflow)
50 PMT (Annual coupon)
1000 FV (Face value)
8 n (Years to maturity)
i (Calculate YTM)
Result: 7.58%
Rendimiento actual frente a YTM
Rendimiento actual = Cupón anual / Precio actual
- Rendimiento actual = $50 / $875 = 5,71%
- YTM = 7,58% (más alto porque el bono se cotiza con descuento)
Equidad: Cálculo de rentabilidad requerida
Uso del modelo de crecimiento de Gordon para encontrar el rendimiento requerido
Modelo de crecimiento de Gordon reorganizado:
r = (D₁/P₀) + g
Ejemplo: Negociación de acciones a $45
- Dividendo del próximo año: $2,25
- Tasa de crecimiento esperada: 6%Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
2.25 ENTER (Next year's dividend)
45 ÷ (Dividend yield)
6 ENTER (Growth rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
+ (Required return)
100 × (Convert to percentage)
Result: 11%
Cálculo de la tasa de crecimiento implícita
Modelo de crecimiento de Gordon reorganizado:
g = r - (D₁/P₀)
Ejemplo: Negociación de acciones a $60
- Dividendo del próximo año: $3.00
- Rentabilidad requerida: 12%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
12 ENTER (Required return)
100 ÷ (Convert to decimal)
3.00 ENTER (Next year's dividend)
60 ÷ (Dividend yield as decimal)
- (r - dividend yield)
100 × (Convert to percentage)
Result: 7%
Fórmulas y cálculos
TIR (tasa interna de rendimiento)
Definición: La tasa de descuento que hace que el VPN = 0
Fórmula: VPN = Σ[CFₜ/(1+TIR)ᵗ] = 0
Ejemplo: La inversión cuesta $1,000, regresa $300, $400, $500 en 3 años
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
-1000 g CF₀ (Initial investment)
300 g CFⱼ (Year 1 cash flow)
400 g CFⱼ (Year 2 cash flow)
500 g CFⱼ (Year 3 cash flow)
f IRR (Calculate IRR)
Result: 23.38%
TIR modificada (TIRM)
Fórmula: Cuentas MIRR para la tasa de reinversión y la tasa de financiación
Ejemplo: Mismos flujos de efectivo, tasa de reinversión del 10%, tasa de financiamiento del 8%
Pasos de cálculo:
- Valor futuro de los flujos de efectivo positivos a tasa de reinversión
- Valor presente de los flujos de efectivo negativos a tasa de financiamiento
- Calcular la tasa entre estos valores.
Cálculo manual de HP 12C:
Future Value of Positive Cash Flows:
300×(1.10)² + 400×(1.10)¹ + 500×(1.10)⁰ = 1,303
MIRR = (1,303/1,000)^(1/3) - 1 = 9.20%
Ejemplos prácticos
Análisis de bonos corporativos
Escenario: Análisis de un bono Tesla
- Precio actual: $950
- Valor nominal: $1,000
- Cupón: 3,5% semestral
- Años hasta el vencimiento: 5
Calcular YTM semestral:
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
-950 PV (Current price)
17.5 PMT (Semiannual coupon: $1,000 × 3.5% ÷ 2)
1000 FV (Face value)
10 n (Semiannual periods: 5 × 2)
i (Calculate semiannual YTM)
Result: 2.33% (semiannual)
Annual YTM = 2.33% × 2 = 4.66%
Análisis REIT
Escenario: Fideicomiso de inversión inmobiliaria
- Precio actual: $85
- Dividendo anual: $4,80
- Crecimiento de dividendos últimos 5 años: 3% promedio
- Rentabilidad requerida para REIT: 9%
Marque si está valorado de manera justa:
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
4.80 ENTER (Current dividend)
1.03 × (Next year's dividend)
9 ENTER (Required return)
3 - (r - g)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (Fair value calculation)
Result: $82.40 (fair value)
Current price $85 > Fair value $82.40 = Overvalued
Aplicaciones DeFi
Análisis APY de agricultura de rendimiento
Escenario: Préstamos del USDC de Compound Finance
- APY actual mostrado: 8%
- Recompensas en tokens: 2% adicional en tokens COMP
- La volatilidad del token COMP requiere una prima de riesgo del 15%
Cálculo de rentabilidad real ajustada al riesgo:
Componentes APY efectivos:
- Préstamo base: 8%
- Recompensas COMP: 2%
- Ajuste de riesgo: -15% de prima requerida
- APY neto ajustado al riesgo: 8% + 2% - 15% = -5%
Implicación: A pesar del 10% de APY nominal, el rendimiento ajustado al riesgo es negativo
Retorno implícito del token LP
Escenario: Grupo Uniswap ETH/DAI
- Precio del token LP: $150
- Tarifas diarias previstas: $0,50
- Crecimiento de tarifas esperado: 12% anual
Calcular el rendimiento anual implícito:
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
0.50 ENTER (Daily fees)
365 × (Annual fees)
150 ÷ (Fee yield)
12 ENTER (Growth rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
+ (Total implied return)
100 × (Convert to percentage)
Result: 33.67% implied annual return
Objetivo de aprendizaje 3: Aditividad del flujo de caja y ausencia de arbitraje
Concepto central: la base de las finanzas modernas
El principio de aditividad del flujo de efectivo y la condición de no arbitraje son dos de las ideas más poderosas en finanzas. Juntos, forman la base lógica para fijar el precio de los bonos, derivados y prácticamente todos los instrumentos financieros. exam-focus
Principio de aditividad del flujo de efectivo
Definición: El valor de una cartera de activos es igual a la suma de los valores de los activos individuales.
Expresión Matemática:
PV(CF₁ + CF₂ + ... + CFₙ) = PV(CF₁) + PV(CF₂) + ... + PV(CFₙ)
Condición de no arbitraje
Definición: En los mercados eficientes, no debería haber ninguna oportunidad de obtener ganancias libres de riesgo sin inversión.
Implicación: Los activos con flujos de efectivo idénticos deben tener precios idénticos o existirán oportunidades de arbitraje.
Aplicaciones en los mercados financieros
Tasas de interés a plazoFórmula de tasa a plazo:
(1 + f₁,₂)² = (1 + r₂)² / (1 + r₁)¹
donde:
- f₁,₂ = Tasa a plazo del año 1 al año 2
- r₁ = tasa al contado a 1 año
- r₂ = tasa al contado a 2 años
Ejemplo: Tasa a 1 año = 4%, tasa a 2 años = 5%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
1.05 ENTER (1 + 2-year rate)
2 yˣ (Square it)
1.04 ÷ (Divide by 1 + 1-year rate)
1 - (Subtract 1)
100 × (Convert to percentage)
Result: 6.01% (1-year forward rate starting in year 1)
Verificación sin arbitraje:
- Estrategia A: Invertir durante 2 años al 5%: $1 → $1,1025
- Estrategia B: Invertir 1 año al 4%, luego 1 año al tipo forward 6,01%: 1 dólar → 1,04 dólares → 1,1025 dólares
Ambas estrategias arrojan resultados idénticos, lo que confirma que no hay arbitraje.
Tipos de cambio a plazo
Fórmula de paridad de tasas de interés:
F/S = (1 + r_domestic) / (1 + r_foreign)
donde:
- F = tipo de cambio a plazo
- S = tipo de cambio al contado
- r_domestic = tasa de interés nacional
- r_foreign = Tasa de interés extranjera
Ejemplo: Análisis del tipo de cambio USD/EUR
- Tasa al contado: 1,20 USD/EUR
- Tasa de interés estadounidense: 3%
- Tipo de interés de la UE: 1%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
1.03 ENTER (1 + US rate)
1.01 ÷ (Divide by 1 + EU rate)
1.20 × (Multiply by spot rate)
Result: 1.2238 USD/EUR forward rate
Fórmulas y cálculos
Principios de valoración de opciones
Paridad Put-Call (opciones europeas): formula exam-focus
C + PV(X) = P + S
donde:
- C = Precio de la opción de compra
- P = Precio de la opción de venta
- S = Precio actual de las acciones
- X = precio de ejercicio
- PV(X) = Valor actual del precio de ejercicio
Ejemplo: Acciones a $100, opciones a 6 meses con ejercicio de $105, tasa libre de riesgo del 4%
- Precio de llamada: $8
- Encuentre el precio de venta utilizando la paridad de compra y venta.
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
105 ENTER (Strike price)
4 ENTER (Risk-free rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
0.5 × (6 months = 0.5 years)
+/- EXP (e^(-r×t))
× (PV of strike)
100 + (PV(X) + S)
8 - (Subtract call price)
Result: $4.95 (Put price)
Instrumentos sintéticos
Creación de posiciones sintéticas utilizando la aditividad del flujo de caja:
Call sintético = acciones + venta - PV(strike) Puerta sintética = Call + PV(Strike) - Stock Acciones sintéticas = Call - Put + PV(Strike)
Ejemplos prácticos
Inmunización de la cartera de bonos
Escenario: Crear una cartera para igualar un pasivo específico
- Responsabilidad: $1,000,000 a pagar en 3 años
- Bonos disponibles:
- Bono A: 2 años, cupón del 5%, precio de $950
- Bono B: 5 años, cupón del 6%, precio de $1,080
Uso de la aditividad del flujo de caja para construir una cartera coincidente:
Paso 1: Calcular el valor presente del pasivo
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
1000000 ENTER (Liability amount)
5 i (Discount rate)
3 n (Years)
PV (PV of liability)
Result: -$863,837.60
Paso 2: Encuentre ponderaciones de cartera Sea x = peso en el Bono A, (1-x) = peso en el Bono B
PV de la cartera = x × PV(Bono A) + (1-x) × PV(Bono B) = $863.837,60
Arbitraje de divisas
Escenario: Verifique la oportunidad de arbitraje
- USD/EUR al contado: 1,1500
- USD/GBP al contado: 1,2800
- Contado EUR/GBP: 1,1200
- USD/EUR implícito a través de GBP: 1,2800/1,1200 = 1,1429
Existe oportunidad de arbitraje: Tasa directa (1,1500) > Tasa cruzada (1,1429)
Estrategia de arbitraje:
- Vender EUR directamente por USD a 1,1500
- Compre EUR indirectamente: USD → GBP → EUR al tipo efectivo 1,1429
- Beneficio: 1,1500 - 1,1429 = 0,0071 USD por EUR
Aplicaciones DeFi
El principio de no arbitraje es el corazón de DeFi. Los creadores de mercado automatizados, los robots de arbitraje entre DEX y las estrategias de préstamos rápidos existen precisamente porque la cadena de bloques crea entornos transparentes y programables donde el arbitraje se puede detectar y ejecutar en una única transacción atómica. defi-application
Arbitraje de creador de mercado automatizado (AMM)
Escenario: Discrepancia de precios entre Uniswap y SushiSwap- ETH/USDC en Uniswap: 1 ETH = 2000 USDC
- ETH/USDC en Sushiswap: 1 ETH = 1.990 USDC
- Costos de gasolina: $20 por transacción
Cálculo de arbitraje:
Profit per ETH = 2,000 - 1,990 = 10 USDC
Gas cost = $20 × 2 transactions = $40
Minimum profitable size = $40 / $10 per ETH = 4 ETH
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
10 ENTER (Price difference in USDC)
4 × (Minimum 4 ETH trade)
40 - (Subtract gas costs)
Result: $0 (breakeven at 4 ETH)
Arbitraje de agricultura de rendimiento
Escenario: Arbitraje de tasas de interés entre protocolos defi-application
- Préstamo Compound USDC: 8% APY
- Préstamo Aave USDC: 6% APY
- Recompensas de minería de liquidez: 5% APY en tokens
Retorno neto del arbitraje:
- Préstamo en Aave: -6%
- Préstamo compuesto: +8%
- Recompensas de liquidez: +5%
- Total: 7% de rentabilidad sin riesgo
Dimensionamiento de la posición con aditividad del flujo de caja:
Para una posición de $100,000:
- Flujo de caja anual = $100,000 × 7% = $7,000
- Flujo de caja mensual = $7.000 ÷ 12 = $583,33
Pasos de HP 12C RPN para VPN durante 12 meses:
f CLx
-100000 g CF₀ (Initial investment)
583.33 g CFⱼ (Monthly cash flow)
12 g Nⱼ (12 occurrences)
100000 g CFⱼ (Principal return in month 12)
0.5 i (Monthly discount rate)
f NPV (Calculate NPV)
Result: $6,695.73 NPV
Aplicaciones integrales del valor del tiempo
Cálculos de suma única
Valor futuro
Fórmula: FV = PV(1 + r)ⁿ
Ejemplo: $5000 invertidos durante 8 años al 7%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
-5000 PV (Present value)
7 i (Interest rate)
8 n (Number of periods)
FV (Calculate future value)
Result: $8,590.07
Valor presente
Fórmula: PV = FV/(1 + r)ⁿ
Ejemplo: Se necesitan $10,000 en 6 años, tasa de interés del 9%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
10000 FV (Future value needed)
9 i (Interest rate)
6 n (Number of periods)
PV (Calculate present value)
Result: -$5,962.67
Cálculos de anualidades
Anualidad Ordinaria (Pagos al Final del Periodo)
Fórmula del valor futuro: FVA = PMT × [((1+r)ⁿ - 1)/r]
Fórmula del valor actual: PVA = PMT × [(1 - (1+r)⁻ⁿ)/r]
Ejemplo: Pagos anuales de $1,200 durante 15 años al 8%
Pasos de HP 12C RPN para PV:
f CLx
g END (Set to ordinary annuity mode)
1200 PMT (Annual payment)
8 i (Interest rate)
15 n (Number of payments)
PV (Calculate present value)
Result: -$10,278.54
Pasos de HP 12C RPN para FV:
(Same setup as above)
FV (Calculate future value)
Result: $32,760.73
Anualidad vencida (pagos al comienzo del período)
Ejemplo: Los mismos pagos de $1200, pero al comienzo de cada año
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
g BEG (Set to annuity due mode)
1200 PMT (Annual payment)
8 i (Interest rate)
15 n (Number of payments)
PV (Calculate present value)
Result: -$11,100.82
FV (Calculate future value)
Result: $35,381.59
Perpetuidad
Fórmula: PV = PAGO/r
Ejemplo: Pago anual de $500 para siempre al 6%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
500 ENTER (Annual payment)
6 ENTER (Interest rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (PMT/r)
Result: $8,333.33
Creciente perpetuidad
Fórmula: PV = PAGO/(r - g)
Ejemplo: Primer pago de $500, 3% de crecimiento anual, 8% de tasa de descuento
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
500 ENTER (First payment)
8 ENTER (Discount rate)
3 - (r - g)
100 ÷ (Convert to decimal)
÷ (PMT/(r-g))
Result: $10,000
Cálculos de tasas de interés
Tasa anual efectiva (EAR)
Fórmula: EAR = (1 + APR/m)ᵐ - 1
Donde m = períodos de capitalización por año
Ejemplo: 12% APR compuesto mensualmente
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
12 ENTER (APR)
12 ÷ (Monthly rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
1 + (1 + monthly rate)
12 yˣ (Raise to 12th power)
1 - (Subtract 1)
100 × (Convert to percentage)
Result: 12.68%
Composición continua
Fórmula: FV = PV × e^(r×t)
Ejemplo: $1000 por 5 años al 10% compuesto continuamente
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
10 ENTER (Interest rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
5 × (r × t)
EXP (e^(r×t))
1000 × (PV × e^(r×t))
Result: $1,648.72
Análisis de VPN y TIR
Valor actual neto (VAN)
Fórmula: VAN = Σ[CFₜ/(1+r)ᵗ] - Inversión inicial
Ejemplo: El proyecto cuesta $50 000, genera $15 000 anualmente durante 5 años, tasa de descuento del 12 %
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
-50000 g CF₀ (Initial investment)
15000 g CFⱼ (Annual cash flow)
5 g Nⱼ (5 occurrences)
12 i (Discount rate)
f NPV (Calculate NPV)
Result: $4,061.55
Índice de rentabilidad
Fórmula: PI = PV de las entradas de efectivo / Inversión inicial
Usando el ejemplo anterior:
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
15000 PMT (Annual cash flow)
12 i (Discount rate)
5 n (Number of years)
PV (PV of cash inflows)
50000 ÷ (Divide by initial investment)
Result: 1.08 (PI > 1, accept project)
Cálculos específicos de DeFi
Cálculo de pérdida temporal
Fórmula para el grupo 50/50: formula defi-application
IL = 2√(price_ratio) / (1 + price_ratio) - 1
Ejemplo: El precio de ETH se duplica en el grupo ETH/USDC
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
2 ENTER (Price ratio)
√ (Square root)
2 × (2 × √price_ratio)
2 ENTER (Price ratio)
1 + (1 + price_ratio)
÷ (Divide)
1 - (Subtract 1)
100 × (Convert to percentage)
Result: -5.72% impermanent loss
Conversión APY frente a APR
Fórmula APY: APY = (1 + APR/n)ⁿ - 1Ejemplo: El protocolo DeFi muestra una APR del 365 % (capitalización diaria)
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
365 ENTER (APR)
365 ÷ (Daily rate)
100 ÷ (Convert to decimal)
1 + (1 + daily rate)
365 yˣ (Compound for 365 days)
1 - (Subtract 1)
100 × (Convert to percentage)
Result: 3,678% APY (exponential compounding effect!)
Cálculo del retorno de la minería de liquidez
Escenario: Proporcionar liquidez + ganar tokens de gobernanza
- Tarifas LP: 0,3% anual
- Recompensas de tokens de gobernanza: 50 % APR
- Riesgo de pérdida no permanente: -10% potencial
- Volatilidad del precio del token: Requiere una prima de riesgo del 20%
Rendimiento ajustado al riesgo:
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
0.3 ENTER (LP fees)
50 + (Add token rewards)
10 - (Subtract IL risk)
20 - (Subtract risk premium)
Result: 20.3% risk-adjusted return
Técnicas avanzadas HP 12C
Funciones de memoria para cálculos complejos
Uso de STO/RCL para problemas de varios pasos
Ejemplo: Inversión de varios períodos con flujos de efectivo variables
Escenario:
- Año 0: Invierta $10,000
- Año 1: reciba $2000, reinvierta al 8%
- Año 2: reciba $3000, reinvierta al 9%
- Año 3: Reciba $4,000, último año
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
10000 +/- STO 1 (Store initial investment)
2000 ENTER (Year 1 cash flow)
8 ENTER (Reinvestment rate)
100 ÷ 1 + 2 yˣ × (Compound for 2 years)
STO 2 (Store year 1 future value)
3000 ENTER (Year 2 cash flow)
9 ENTER (Reinvestment rate)
100 ÷ 1 + × (Compound for 1 year)
STO 3 (Store year 2 future value)
4000 STO 4 (Store year 3 cash flow)
RCL 1 RCL 2 + RCL 3 + RCL 4 + (Sum all cash flows)
Result: Total return calculation
Funciones de fecha y hora
Cálculos de liquidación de bonos
Ejemplo: Bono comprado en fecha diferente a la fecha del cupón
Bono corporativo:
- Fecha de liquidación: 15 de marzo de 2024
- Próxima fecha del cupón: 15 de junio de 2024
- Tasa de cupón: 6% semestral
- Valor nominal: $1,000
Cálculo de intereses acumulados: Días entre cupones = 182 días (típico) Días desde el último cupón = 92 días (15 de marzo - 15 de diciembre)
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
1000 ENTER (Face value)
6 × 100 ÷ 2 ÷ (Semiannual coupon = $30)
92 × (Days since last coupon)
182 ÷ (Divided by days in period)
Result: $15.16 accrued interest
Funciones estadísticas para el análisis de rentabilidad
Desviación estándar de rendimientos
Ejemplo: Calcular la volatilidad de los rendimientos mensuales.
Datos: Rentabilidad mensual: 2%, -1%, 4%, 3%, -2%, 5%
Pasos de HP 12C RPN:
f CLx
f CLΣ (Clear statistics)
2 Σ+ (Enter first return)
1 +/- Σ+ (Enter second return)
4 Σ+ (Enter third return)
3 Σ+ (Enter fourth return)
2 +/- Σ+ (Enter fifth return)
5 Σ+ (Enter sixth return)
g s (Calculate standard deviation)
Result: 2.61% monthly volatility
Volatilidad anualizada:
12 √ × (Multiply by √12)
Result: 9.05% annual volatility
Resumen y conclusiones clave
Principios básicos de TVM
- El dinero tiene valor en el tiempo debido al potencial de ganancias
- Los cálculos del valor presente descuentan los flujos de efectivo futuros
- Todos los instrumentos financieros se valoran utilizando los principios TVM
Fórmulas esenciales
- Suma única: PV = FV/(1+r)ⁿ, FV = PV(1+r)ⁿ
- Anualidad: PVA = PMT × [(1-(1+r)⁻ⁿ)/r]
- Perpetuidad: PV = PMT/r
- Perpetuidad creciente: PV = PMT/(r-g)
- Valoración de bonos: PV = Σ[PMT/(1+r)ᵗ] + FV/(1+r)ⁿ
- DDM de capital: PV = D₁/(r-g)
Técnicas maestras HP 12C
- Siempre borre con f CLx antes de comenzar
- Utilice las convenciones de signos adecuadas (PV negativo para inversiones)
- Recuerde configurar el modo INICIO/FIN para anualidades
- Utilice funciones de memoria (STO/RCL) para cálculos complejos
- Convierta porcentajes a decimales cuando sea necesario
Aplicaciones DeFi
- Valoración del token LP usando fórmulas de perpetuidad
- Cálculos de pérdidas no permanentes para evaluación de riesgos
- Conversiones APY vs APR para una comparación precisa del rendimiento
- Cálculos de rendimiento ajustado al riesgo, incluidos los riesgos del protocolo
Sin arbitraje y aditividad del flujo de caja
- No hay oportunidades de ganancias libres de riesgo en mercados eficientes
- Los valores de la cartera son iguales a la suma de los valores de los activos individuales
- Las tasas a plazo evitan el arbitraje entre períodos de tiempo
- Los modelos de fijación de precios de opciones se basan en condiciones de no arbitraje
Esta base integral en el valor del dinero en el tiempo proporciona el conjunto de herramientas cuantitativas para todos los temas financieros posteriores y el análisis financiero del mundo real, especialmente en el ecosistema DeFi en rápida evolución, donde estos principios se aplican con nuevas complejidades y oportunidades.