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Tema 5: Portafolio de Matemáticas

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Portfolio Mathematics - Guía de estudio mejorada

Objetivo de aprendizaje 1: Cálculos de rentabilidad de la cartera

Concepto central: fundamentos de la teoría del portafolio

Las matemáticas de portafolios constituyen la piedra angular de la teoría moderna de portafolios, desarrollada por Harry Markowitz. Sobre la base de las medidas estadísticas de varianza y correlación, la idea fundamental es que el riesgo de la cartera depende no solo de los riesgos de los activos individuales sino también de cómo los activos se mueven juntos (covarianza). Esto permite a los inversores construir carteras que ofrezcan rendimientos superiores ajustados al riesgo mediante la diversificación.

Principios clave:

  • El rendimiento de la cartera es el promedio ponderado de los rendimientos de los activos individuales.
  • El riesgo de cartera NO es el promedio ponderado de los riesgos individuales debido a efectos de correlación
  • La diversificación reduce el riesgo de la cartera cuando los activos no están perfectamente correlacionados.
  • La frontera eficiente representa combinaciones óptimas de riesgo-retorno.

Fórmulas y cálculos

Rentabilidad esperada de la cartera

Fórmula: E(Rp) = Σ(wi × E(Ri)) formula

donde:

  • E(Rp) = Rendimiento esperado de la cartera
  • wi = Peso del activo i en la cartera
  • E(Ri) = Rendimiento esperado del activo i

Pasos de HP 12C para una cartera de 2 activos:

  1. Borrar calculadora: [f][CLX]
  2. Ingrese el peso 1: [w1][ENTER]
  3. Ingrese el retorno 1: [R1][×]
  4. Almacenar resultado: [STO][1]
  5. Ingrese el peso 2: [w2][ENTER]
  6. Ingrese el retorno 2: [R2][×]
  7. Agregar resultados: [RCL][1][+]
  8. Se muestra el rendimiento de la cartera

Variación de la cartera (2 activos)

Fórmula: σ²p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂ formula exam-focus

donde:

  • σ²p = Variación de la cartera
  • w₁, w₂ = Pesos de los activos 1 y 2
  • σ₁², σ₂² = Variaciones de los activos 1 y 2
  • ρ₁₂ = Coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2

Pasos HP 12C para variación de cartera:

  1. Calcule w₁²σ₁²: [w1][x²][σ1²][×][STO][1]
  2. Calcule w₂²σ₂²: [w2][x²][σ2²][×][STO][2]
  3. Calcule 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂: [2][w1][×][w2][×][σ1][×][σ2][×][ρ12][×][STO][3]
  4. Componentes de la suma: [RCL][1][RCL][2][+][RCL][3][+]

Desviación estándar de la cartera

Fórmula: σp = √σ²p

Pasos de HP 12C:

  1. Después de calcular la varianza: [√x]

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: cartera de dos activos

Dado:

  • Activo A: E(RA) = 12%, σA = 20%, wA = 60%
  • Activo B: E(RB) = 8%, σB = 15%, wB = 40%
  • Correlación ρAB = 0,3

Solución:

  1. Retorno de cartera: E(Rp) = 0.6 × 12% + 0.4 × 8% = 10.4%

  2. Variación de la cartera: σ²p = (0.6)²(0.20)² + (0.4)²(0.15)² + 2(0.6)(0.4)(0.20)(0.15)(0.3) σ²p = 0.0144 + 0.0036 + 0.00216 = 0.02016

  3. Desviación estándar de la cartera: σp = √0,02016 = 14,2%

Ejemplo 2: Cartera de activos múltiples

Dado:

  • Activo 1: E(R₁) = 15%, σ₁ = 25%, w₁ = 50%
  • Activo 2: E(R₂) = 10%, σ₂ = 18%, w₂ = 30%
  • Activo 3: E(R₃) = 6%, σ₃ = 8%, w₃ = 20%
  • Correlaciones: ρ₁₂ = 0,4, ρ₁₃ = 0,2, ρ₂₃ = 0,1

Solución: E(Rp) = 0,5(15%) + 0,3(10%) + 0,2(6%) = 11,7%

Para el cálculo de varianza con múltiples activos: σ²p = Σwi²σi² + ΣΣ(i≠j)wiwjσiσjρij

Aplicación DeFi: posiciones de proveedores de liquidez

Análisis de posición Uniswap V3 LPAl proporcionar liquidez a un grupo Uniswap V3, su posición actúa como una cartera de los dos tokens subyacentes con ponderaciones dinámicas basadas en movimientos de precios. El marco matemático de la cartera se aplica directamente: el rendimiento del LP es una combinación ponderada de los rendimientos de los tokens subyacentes, ajustados por los ingresos por comisiones y las pérdidas no permanentes. defi-application

Ejemplo: Posición LP ETH/USDC

  • Rango: $1,800 - $2,200
  • Precio actual de ETH: $2,000
  • Los tokens LP representan: 60% ETH, 40% USDC

Cálculo del rendimiento de la posición LP:

  1. Retorno del componente ETH: wETH × E(RETH)
  2. Retorno del componente USDC: wUSDC × E(RUUSDC)
  3. Ingresos por tarifas: Volumen diario × Nivel de tarifas × Su participación en el fondo común
  4. Ajuste de pérdida no permanente: basado en la divergencia de precios

Cálculo de retorno de HP 12C LP:

1. [0.6][ENTER][15%][×][STO][1]    // ETH component
2. [0.4][ENTER][0%][×][STO][2]     // USDC component
3. [2%][STO][3]                    // Fee income (annualized)
4. [RCL][1][RCL][2][+][RCL][3][+]  // Total LP return

Objetivo de aprendizaje 2: covarianza y correlación con funciones de probabilidad conjunta

Concepto central: distribuciones de probabilidad conjunta

Las funciones de probabilidad conjunta describen la probabilidad de que diferentes combinaciones de rendimientos ocurran simultáneamente. Este enfoque proporciona un método más sofisticado para calcular la covarianza y la correlación, especialmente útil en escenarios con resultados de rendimiento discretos.

Propiedades de probabilidad conjunta:

  • ΣΣP(Ri,Rj) = 1 (todas las probabilidades suman 1)
  • P(Ri,Rj) ≥ 0 para todos los resultados
  • Probabilidades marginales: P(Ri) = ΣjP(Ri,Rj)

Fórmulas y cálculos

Rentabilidad esperada de la distribución conjunta

Fórmula: E(Ri) = ΣΣ[Ri × P(Ri,Rj)]

Covarianza mediante probabilidad conjunta

Fórmula: Cov(R1,R2) = ΣΣ[R1i - E(R1)][R2j - E(R2)] × P(R1i,R2j)

Correlación de la covarianza

Fórmula: ρ12 = Cov(R1,R2) / (σ1 × σ2)

Pasos de HP 12C para el cálculo de covarianza:

  1. Crear productos de desviación ponderados por probabilidad
  2. Sumar todos los términos: Σ[(R1i - μ1)(R2j - μ2) × P(R1i,R2j)]
  3. El resultado es covarianza

Ejemplos prácticos

Ejemplo: distribución de probabilidad conjunta

Escenarios de mercado:

  • Mercado alcista (30% de probabilidad): Acción A = 20%, Acción B = 15%
  • Mercado Normal (50% de probabilidad): Acción A = 10%, Acción B = 8%
  • Mercado bajista (20% de probabilidad): Acción A = -5%, Acción B = 2%

Cálculo paso a paso:

  1. Devoluciones esperadas:

    • E(RA) = 0.3(20%) + 0.5(10%) + 0.2(-5%) = 9%
    • E(RB) = 0.3(15%) + 0.5(8%) + 0.2(2%) = 8.9%

  2. Cálculo de covarianza:

    • Bull: (20% - 9%)(15% - 8.9%) × 0.3 = 20.13
    • Normal: (10% - 9%)(8% - 8.9%) × 0.5 = -0.45
    • Bear: (-5% - 9%)(2% - 8.9%) × 0.2 = 19.32
    • Cov(RA,RB) = 39.0 (basis points)

  3. Desviaciones estándar:

    • σA = √[0.3(11%)² + 0.5(1%)² + 0.2(-14%)²] = 8.77%
    • σB = √[0.3(6.1%)² + 0.5(-0.9%)² + 0.2(-6.9%)²] = 4.67%

  4. Correlación:

    • ρAB = 39.0 / (8.77 × 4.67) = 0.95

Aplicación DeFi: estrategias de agregación de rendimiento

Análisis de bóveda Yearn Finance

Las bóvedas Yearn Finance emplean múltiples estrategias en todos los protocolos DeFi. Comprender las correlaciones entre las posiciones subyacentes es crucial para la evaluación de riesgos. defi-application

Ejemplo: Desglose de la estrategia de bóveda yvUSDC:

  • Préstamo compuesto: asignación del 40%
  • Préstamos Aave: asignación del 30%
  • Curva LP: asignación del 30%

Escenarios de probabilidad conjunta:

  • Alta actividad DeFi (40%): Compound +8%, Aave +7%, Curve +12%
  • Actividad normal (45%): Compound +5%, Aave +4%, Curve +6%
  • Estrés de DeFi (15%): Compound +2%, Aave +1%, Curve -3%Análisis de correlación: Todas las estrategias muestran una correlación positiva durante eventos de estrés (huida hacia la calidad), lo que reduce los beneficios de la diversificación cuando más se necesitan.

Objetivo de aprendizaje 3: Riesgo de déficit y criterio de seguridad primero de Roy

Concepto central: gestión de riesgos a la baja

El criterio de Roy, la seguridad primero, aborda una preocupación fundamental en la gestión de carteras: la probabilidad de no cumplir con los requisitos mínimos de rendimiento. A diferencia de la optimización tradicional de media-varianza, este enfoque se centra explícitamente en la protección contra caídas.

Conceptos clave:

  • Riesgo de déficit: Probabilidad de que el rendimiento de la cartera caiga por debajo de un umbral
  • Umbral de retorno (RL): Nivel de retorno mínimo aceptable
  • Relación seguridad-primero: Medida estandarizada de protección contra caídas

Fórmulas y cálculos

La relación seguridad-primero de Roy

Fórmula: SFRatio = [E(Rp) - RL] / σp formula exam-focus

donde:

  • E(Rp) = Rendimiento esperado de la cartera
  • RL = Umbral de retorno (mínimo aceptable)
  • σp = Desviación estándar de la cartera

Probabilidad de déficit (suponiendo una distribución normal)

Fórmula: P(Rp < RL) = N[(RL - E(Rp)) / σp]

Donde N(·) es la función de distribución normal estándar acumulativa.

Pasos de HP 12C para una relación seguridad-primero:

  1. Calcule el exceso de rentabilidad: [E(Rp)][ENTER][RL][-]
  2. Dividir por desviación estándar: [σp][÷]
  3. El resultado es la relación SF

Pasos de HP 12C para la probabilidad de déficit:

  1. Calcule la puntuación z: [RL][ENTER][E(Rp)][-][σp][÷]
  2. Utilice la tabla de distribución normal o la función de calculadora.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Evaluación de cartera única

Dado:

  • Cartera A: E(Rp) = 12%, σp = 18%
  • Umbral de retorno: RL = 5%

Solución: Relación SF = (12% - 5%) / 18% = 0,389

Interpretación: Un índice SF más alto indica una menor probabilidad de déficit.

Ejemplo 2: Selección de cartera

Comparación de cartera:

  • Cartera A: E(R) = 15%, σ = 22%, RL = 8%
  • Cartera B: E(R) = 12%, σ = 16%, RL = 8%
  • Cartera C: E(R) = 10%, σ = 12%, RL = 8%

Relaciones de SF:

  • A: (15% - 8%) / 22% = 0,318
  • B: (12% - 8%) / 16% = 0,250
  • C: (10% - 8%) / 12% = 0,167

Selección: La cartera A tiene el índice SF más alto, lo que la hace óptima según el criterio de Roy.

Ejemplo 3: Cartera de variación mínima

Al optimizar según el criterio de Roy, a menudo necesitamos encontrar pesos que maximicen la relación SF.

Para cartera de 2 activos: Peso óptimo en el Activo 1: w₁* = [(σ₂² - σ₁σ₂ρ₁₂) + (μ₁ - μ₂)(μ₁ - RL)] / [σ₁² + σ₂² - 2σ₁σ₂ρ₁₂ + (μ₁ - μ₂)²]

Aplicación DeFi: construcción de cartera de protocolos indexados

Análisis del índice de pulso (DPI) de Index Coop DeFi

El token DPI representa una canasta diversificada de tokens DeFi. El criterio de Roy de que la seguridad es lo primero puede guiar las decisiones de reequilibrio.

Composición actual (Ejemplo):

  • UNI: 15% peso, E(R) = 25%, σ = 45%
  • AAVE: 12% en peso, E(R) = 22%, σ = 40%
  • COMP: 10% peso, E(R) = 20%, σ = 38%
  • [Fichas adicionales…]

Marco de decisión de reequilibrio:

  1. Establecer un umbral de rendimiento basado en el desempeño del mercado DeFi (por ejemplo, RL = 10%)
  2. Calcule las proporciones de SF para diferentes asignaciones de peso
  3. Optimice los pesos para maximizar la relación SF
  4. Implementar el reequilibrio teniendo en cuenta las consideraciones del costo del gas.Ejemplo de cálculo de SF para DPI:
Current allocation: E(R) = 18%, σ = 35%
Threshold return: RL = 10%
SF Ratio = (18% - 10%) / 35% = 0.229

Optimización de asignación alternativa:

  • Aumentar la exposición a las monedas estables durante períodos de alta volatilidad.
  • Ajustar ponderaciones en función de los cambios de correlación.
  • Considere los costos del gas en la frecuencia de reequilibrio.

Integración de matemáticas de Balancer Pool

Grupos ponderados por el equilibrador y criterio de Roy: Los grupos de balanceadores pueden analizarse como carteras dinámicas donde las ponderaciones cambian con los movimientos de precios relativos.

Consideraciones clave:

  1. Pérdida impermanente como riesgo de déficit: Calcule la probabilidad de que IL supere el umbral
  2. Compensación de ingresos por tarifas: Incluya las tarifas comerciales en el cálculo del rendimiento esperado
  3. Reequilibrio dinámico: El pool se reequilibra automáticamente, lo que afecta el perfil de riesgo

Ejemplo: Grupo de balanceador 60/40 ETH/DAI

  • Caso base: E(R) = 12% (incluidas tarifas), σ = 28%
  • Umbral: RL = 5% (para superar el rendimiento de la moneda estable)
  • Relación SF = (12% - 5%) / 28% = 0,25

Factores de riesgo:

  • La alta volatilidad de ETH aumenta la probabilidad de déficit
  • Correlación entre ETH y el mercado criptográfico en general
  • Riesgo de contrato inteligente como factor negativo adicional

Temas avanzados y operaciones matriciales

Matriz de covarianza para carteras multiactivos

Para carteras de n activos, utilizamos notación matricial:

Variación de la cartera: σ²p = w’Σw

donde:

  • w = vector columna de pesos
  • Σ = matriz de covarianza n×n
  • w’ = transpuesta del vector de peso

Operaciones de matriz HP 12C: Si bien el HP 12C tiene capacidades matriciales limitadas, podemos realizar cálculos clave:

  1. Matriz de covarianza 2×2:

    Σ = [σ₁²     ρ₁₂σ₁σ₂]
    [ρ₁₂σ₁σ₂   σ₂²  ]

  2. Cálculo de la variación de la cartera: σ²p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρ₁₂σ₁σ₂

Construcción de frontera eficiente

La frontera eficiente representa el conjunto de carteras que ofrecen el máximo rendimiento esperado para cada nivel de riesgo.

Puntos clave en la frontera:

  1. Cartera de variación mínima: Cartera de menor riesgo
  2. Cartera con índice de Sharpe máximo: Rendimiento óptimo ajustado al riesgo
  3. Óptimo de seguridad primero de Roy: Relación SF más alta para un umbral determinado

Ponderaciones mínimas de variación de la cartera (2 activos): w₁ = (σ₂² - ρ₁₂σ₁σ₂) / (σ₁² + σ₂² - 2ρ₁₂σ₁σ₂) w₂ = 1 - w₁

Presupuesto de riesgo y contribuciones de riesgo marginal

Contribución marginal al riesgo: MCTRᵢ = (∂σp/∂wᵢ) = (Σw)ᵢ/σp

Contribución al riesgo: RCᵢ = wᵢ × MCTRᵢ

Este marco ayuda a comprender cómo cada activo contribuye al riesgo general de la cartera.

Resumen y conclusiones clave

Tarjeta de referencia de fórmula

Métricas de cartera:

  • Retorno esperado: E(Rp) = ΣwᵢE(Rᵢ)
  • Varianza: σ²p = w’Σw
  • Covarianza: Cov(i,j) = ρᵢⱼσᵢσⱼ
  • Correlación: ρᵢⱼ = Cov(i,j)/(σᵢσⱼ)

La seguridad es lo primero:

  • Relación SF: [E(Rp) - RL]/σp
  • Probabilidad de déficit: N[(RL - E(Rp))/σp]

Consideraciones específicas de DeFi

  1. Pérdida impermanente: Debe tenerse en cuenta en los cálculos de rentabilidad de LP
  2. Riesgo de contrato inteligente: Riesgo de desventaja adicional no capturado en las métricas tradicionales
  3. Dinámica de correlación: Los protocolos DeFi a menudo muestran una mayor correlación durante el estrés.
  4. Costos del gas: Impacto en la frecuencia óptima de reequilibrio
  5. Agricultura de rendimiento: Los altos rendimientos temporales pueden distorsionar la evaluación de riesgos a largo plazo

Consejos prácticos de implementación1. Recopilación de datos: Utilice fuentes de precios y datos de volumen confiables

  1. Estimación de correlación: Utilice ventanas móviles para capturar relaciones cambiantes
  2. Pruebas de estrés: Modele escenarios extremos más allá de los supuestos de distribución normal
  3. Reequilibrio regular: Equilibrar el control del riesgo con los costos de transacción
  4. Monitoreo de riesgos: Implemente un seguimiento de riesgos de cartera en tiempo real

Esta guía completa proporciona la base teórica y las herramientas prácticas necesarias para la construcción eficaz de carteras y la gestión de riesgos tanto en las finanzas tradicionales como en el ecosistema DeFi en rápida evolución.

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