Pruebas de independencia paramétricas y no paramétricas
Cobertura de objetivos de aprendizaje
OA1: Explicar las pruebas paramétricas y no paramétricas de la hipótesis de que el coeficiente de correlación poblacional es igual a cero y determinar si la hipótesis se rechaza en un nivel de significancia determinado.
Concepto central
Este tema aplica el marco de prueba de hipótesis específicamente a preguntas sobre relaciones entre variables. Las pruebas de independencia determinan si dos variables tienen una relación estadísticamente significativa, utilizando métodos paramétricos (basados en distribución) o no paramétricos (basados en rangos). Los conceptos de correlación del Tema 3 ahora se colocan en un marco inferencial formal, lo que nos permite distinguir las relaciones genuinas del ruido.
Fórmulas y cálculos
- correlación de Pearson: r = sXY/(sX × sY) formula
- Estadística de prueba: t = r√(n-2)/√(1-r²) con df = n-2 formula exam-focus
- Rango de lancero: rs = 1 - (6Σdi²)/(n(n²-1)) formula
- Pasos HP 12C:
Correlation t-test: [r] ENTER [n] 2 - √x × 1 [r] x² - √x ÷
Ejemplos prácticos
- Ejemplo de finanzas tradicionales: prueba de correlación entre dos fondos mutuos
- Muestra: 36 rentabilidades mensuales, r = 0,43
- t = 0,43√(36-2)/√(1-0,43²) = 2,77
- Valor crítico al 5%: ±2.032
- Decisión: Rechazar H₀, existe una correlación significativa
- Interpretación: Los fondos se mueven juntos, lo cual es importante para las decisiones de diversificación
Aplicación DeFi
- Ejemplo de protocolo: prueba de correlación entre los retornos de tokens ETH y DeFi
- Implementación: Utilice el rango Spearman debido a retornos criptográficos anormales
- Ventajas/Desafíos: la alta volatilidad y los valores atípicos hacen que las pruebas no paramétricas sean más confiables
OA2: Explicar las pruebas de independencia basadas en datos de tablas de contingencia
Concepto central
- Definición: la prueba de chi-cuadrado analiza las relaciones entre variables categóricas mediante tablas de contingencia
- Por qué es importante: evalúa las dependencias entre resultados discretos como decisiones de inversión, categorías de riesgo o tipos de protocolos.
- Componentes clave: frecuencias observadas, frecuencias esperadas, estadística de chi-cuadrado, grados de libertad
Fórmulas y cálculos
- Estadística de chi-cuadrado: χ² = Σ[(Oij - Eij)²/Eij] formula exam-focus
- Frecuencia esperada: Eij = (Total de fila i × Total de columna j)/Total general formula
- Grados de libertad: gl = (r-1)(c-1)
- Residual estandarizado: (Oij - Eij)/√Eij
- Pasos de HP 12C: se requiere cálculo manual para cada celda
Ejemplos prácticos
- Ejemplo de finanzas tradicionales: análisis de clasificación de ETF
- 1.594 ETF clasificados por tamaño y tipo de inversión
- Tabla de contingencia 3×3 (grande/mediano/pequeño × crecimiento/mezcla/valor)
- χ² = 32,08 con gl = 4
- Valor crítico al 5%: 9.488
- Decisión: Rechazar la independencia, el tamaño y el estilo están relacionados.
- Interpretación: El estilo de inversión depende del enfoque de capitalización de mercado
Aplicación DeFi- Ejemplo de protocolo: prueba de la relación entre el tipo de protocolo (DEX/Préstamo/Rendimiento) y el nivel de riesgo (Bajo/Medio/Alto)
- Implementación: Crear tabla de contingencia a partir de clasificaciones de protocolos.
- Ventajas/Desafíos: la transparencia en la cadena permite un análisis completo de la población
Resumen de conceptos básicos (principio 80/20)
Conceptos imprescindibles
- Correlación de Pearson: Mide la relación lineal, asume normalidad
- Spearman Rank: resistente a valores atípicos, funciona con datos no normales
- Prueba de chi-cuadrado: prueba la independencia de variables categóricas
- Selección de prueba: paramétrica cuando se cumplen los supuestos, no paramétrica cuando se necesita solidez
Tabla de referencia rápida
| Tipo de prueba | Tipo de datos | Asunción | Estadística de prueba | Caso de uso de DeFi |
|---|---|---|---|---|
| Pearson | Continuo | Normales | t = r√(n-2)/√(1-r²) | Correlaciones de tokens estables |
| Lancero | Clasificado/ordinal | Ninguno | fórmula rs | Análisis de tokens volátiles |
| Chi-cuadrado | Categórico | Independencia | χ² = Σ(O-E)²/E | Tipo de protocolo vs riesgo |
| Contingencia | Discreto | Muestra aleatoria | Igual que χ² | Patrones de comportamiento de la billetera |
Hoja de fórmula completa
Fórmulas esenciales
Pearson Correlation Coefficient:
r = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)]/√[Σ(xi - x̄)²Σ(yi - ȳ)²]
Alternative: r = sXY/(sX × sY)
Where: sXY = covariance, sX, sY = standard deviations
Used for: Linear relationship between normally distributed variables
Correlation t-test:
t = r√(n-2)/√(1-r²)
df = n - 2
Where: r = sample correlation, n = sample size
Used for: Testing H₀: ρ = 0
Spearman Rank Correlation:
rs = 1 - (6Σdi²)/(n(n²-1))
Where: di = difference in ranks for observation i
Used for: Non-normal data or ordinal variables
Chi-Square Test of Independence:
χ² = ΣΣ[(Oij - Eij)²/Eij]
Expected: Eij = (Row i total × Column j total)/Grand total
df = (r-1)(c-1)
Used for: Testing independence of categorical variables
Standardized Residual:
zij = (Oij - Eij)/√Eij
Used for: Identifying which cells contribute most to χ²
Secuencias de la calculadora HP 12C
Pearson Correlation t-statistic:
RPN Steps: [r] ENTER [n] 2 - √x × 1 [r] x² - √x ÷
Example: 0.43 ENTER 36 2 - √x × 1 0.43 x² - √x ÷ = 2.77
Spearman Rank (manual):
1. Rank X values: smallest = 1
2. Rank Y values: smallest = 1
3. Calculate di = rank(Xi) - rank(Yi)
4. Square each di
5. Sum all di²
6. Apply formula: 1 - (6×sum)/(n×(n²-1))
Chi-square cell calculation:
RPN Steps: [O] ENTER [E] - x² [E] ÷
Example: 425 ENTER 400 - x² 400 ÷ = 1.5625
Problemas de práctica
Nivel Básico (Comprensión)
- Problema: Pruebe la correlación entre dos activos con r = 0,35, n = 25
- Given: r = 0.35, n = 25, α = 5% (two-tailed)
- Find: Test statistic and decision
- Solution:
- t = 0.35√(25-2)/√(1-0.35²) = 0.35×4.796/0.937 = 1.79
- Critical values: ±2.069 (df = 23)
- |1.79| < 2.069
- Answer: Fail to reject H₀; correlation not significant at 5%
Nivel intermedio (Aplicación)
- Problema: compare Pearson y Spearman para obtener rendimientos criptográficos con valores atípicos
- Given: 30 daily returns, Pearson r = 0.65, Spearman rs = 0.45
- Find: Which correlation is more appropriate and test significance
- Solution:
- Outliers present → Spearman more appropriate
- t = 0.45√(30-2)/√(1-0.45²) = 2.66
- Critical value at 5%: ±2.048
- Answer: Spearman shows significant correlation; more reliable with outliers
Nivel avanzado (Análisis)
- Problema: Analizar la categorización del protocolo DeFi (tabla de contingencia 3×4)
- Given:
- Rows: Protocol type (DEX/Lending/Derivatives)
- Columns: TVL quartiles (Q1/Q2/Q3/Q4)
- 500 total protocols
- Find: Test independence and identify patterns
- Solution:
- Calculate expected frequencies for each cell
- Compute χ² statistic
- df = (3-1)(4-1) = 6
- Critical value at 5%: 12.592
- Calculate standardized residuals
- Answer: If χ² > 12.592, protocol type and TVL are dependent
- Given:
Aplicaciones DeFi y ejemplos del mundo real
Contexto financiero tradicional
- Ejemplo de institución: los administradores de cartera prueban las correlaciones para determinar los beneficios de la diversificación
- Aplicación de mercado: Los gestores de riesgos utilizan tablas de contingencia para escenarios de pruebas de estrés.
- Caso histórico: la crisis de 2008 reveló correlaciones ocultas que el análisis del período normal no detectó
Paralelos de DeFi
- Implementación del protocolo: Yearn Finance utiliza análisis de correlación para la selección de estrategias de bóveda
- Lógica de contrato inteligente: los protocolos de evaluación de riesgos clasifican las posiciones mediante análisis de contingencia
- Ventajas: el historial de transacciones completo permite estimaciones de correlación sólidas
- Limitaciones: La breve historia y los cambios de régimen afectan la estabilidad de la correlación.
Estudios de caso
- Caso 1: Clasificación de riesgo de posición LP defi-application
- Background: Categorizing Uniswap v3 positions by concentration and impermanent loss
- Analysis: Chi-square test on 2×3 table (concentrated/wide × low/medium/high IL)
- Outcomes: Strong dependence found (χ² = 45.3, p < 0.001)
- Lessons learned: Position width significantly affects IL risk profile
Errores comunes y consejos para los exámenes
Errores frecuentes
- Error 1: Usar Pearson con datos no normales - Verifique primero la distribución
- Error 2: gl incorrecto para chi-cuadrado - Recuerde (r-1)(c-1) no r×c
- Error 3: Interpretar la correlación como causalidad - Correlación ≠ causalidad
Estrategia de examen- Gestión del tiempo: 3-4 minutos para pruebas de correlación, 5-6 para tablas de contingencia
- Patrones de preguntas: a menudo pide elegir entre paramétrico/no paramétrico
- Comprobaciones rápidas: los valores de Spearman siempre están entre -1 y 1
Conclusiones clave
Puntos esenciales
✓ Pearson prueba relaciones lineales suponiendo normalidad ✓ Spearman usa rangos, resistentes a los valores atípicos y a la no normalidad ✓ Pruebas de chi-cuadrado de independencia de variables categóricas ✓ Frecuencias esperadas = (total de filas × total de columnas)/total general ✓ La elección de la prueba depende de las características y supuestos de los datos.
Ayudas para la memoria
- Mnemónico: “PRSC” - Pearson Regular, rangos de Spearman, categorías de Chi-cuadrado
- Visual: Tabla de contingencia con lo observado sobre lo esperado en cada celda
- Analogía: Correlación como parejas de baile: moverse juntos (positivo) u opuestos (negativo)
Referencias cruzadas y recursos adicionales
Temas relacionados
- Requisito previo: Prueba de hipótesis (Tema 8) para el marco de prueba
- Relacionado: Regresión lineal simple (tema 10) extiende la correlación a la predicción
- Avanzado: Técnicas de Big Data (Tema 11) para análisis de correlación a gran escala
Materiales de origen
- Lectura primaria: Volumen 1, Capítulo 9, Páginas 1-24
- Secciones clave: Pruebas de correlación (p.5-12), Tablas de contingencia (p.15-20)
- Preguntas de práctica: Problemas de final de capítulo 1-15
Recursos externos
- Vídeos: “Correlación Pearson vs Spearman” de StatQuest
- Artículos: “Una guía para el uso apropiado de la correlación” - BMJ Statistics
- Herramientas: Python pandas.DataFrame.corr(método=‘spearman’), chisq.test() de R
Revisar la lista de verificación
Antes de continuar, asegúrese de poder:
- Calcular y probar el coeficiente de correlación de Pearson
- Aplicar correlación de rango de Spearman para datos no normales
- Construir tablas de contingencia y calcular frecuencias esperadas.
- Realizar prueba de independencia chi-cuadrado
- Elija la prueba adecuada según las características de los datos